содержание:

Антифонт

Ретроспекция бесконечного

Выход?

Альтернативная философия математики

Приложение-новые методы   

Вычисление длины дуги: альтернативные формулы

Применение новых формул

Новые тригонометрические формулы

О доказательстве формулы

Доказательство формулы Антифонта         

Формулы для вычисления числа пи

Вычисление кривых

Кому это нужно?

Примеры использования  формулы (7):

Задача  1.

Дано:      радиус  окружности  R = 5 ,  хорда АВ = 2.

Найти:     центральный  угол  , соответствующий  дуге    без использования  тригонометрических функций и таблиц.

Решение:  1)  определим  какую часть длины окружности составляет дуга  в градусной мере:

 ⁰ =         или в радианах   =   .

Подставим  в данные формулы  формулу (7) для .

       Угол  ^Р  в радианах  равен:

^р =  2^t , 

выбирая  t = 2  и подставив значения  АВ и R , получаем в радианах:

  ( при t=7  ,   ^р _t=7  0,402716  радиан. ) 

Или в градусах:

  ₇⁰ =   23⁰,073927 = 23⁰ 04’ 26,14”

                      (при  точном  значении     = 23⁰ 04’ 26,11”)

 Задача  2.

  Найти:  площадь сектора  окружности  ОАВ

   Дано:  хорда окружности  АВ  = 2,5 , радиус окружности R =11.

   Решение:

                                S_{сект ОАВ} = 0, 5 R

Подставляя  формулу  (7) для дуги окружности, получаем:

S_{сект ОАВ} = R² 2^t-1

.

а) Выбираем   t = 1. Тогда:

S _{cект ОАВ, t=1} = 11² ,

что точно до 0, 0078

 При выборе t = 2:

S_{сект ОАВ ,t=2} = 11²  2 13,7779 

что точно до 0,0019...

( При  t = 3  получим результат  13,7798 , что точно до  0,0005)

    Задача 3

   Дано:  Треугольник  АВС имеет стороны а =10, в = 12, с = 15.

   Найти: углы  А, В, С,

Решение.

1.                       

Опишем вокруг треугольника  АВС окружность. Для этого найдем радиус описанной  окружности    Определим  радиус R окружности, в которую вписан треугольник АВС  по формуле

                         R =    , где p =

Подставив численные значения, получаем:

p = 18, 5         R 7,524

2.       Найдем углы треугольника  АВС.

Т.к. стороны треугольника можно считать хордами окружности, в которую вписан данный треугольник, то по формуле (4)  можно сразу вычислить  градусную или радианную меру для соответствующих дуг

и опирающихся на них центральных  и вписанных углов. Последние  и являются углами треугольника  АВС.

   Учитывая, что центральный угол, опирающийся на дугу в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, имеем:

угол  А радианах равен:  А^р =    и поставляя  формулу (4) для дуги окружности получаем:

   А^р = 2^t-1      ,  

где ВС = в =12,  R = 7,524   и t – выбираем равным  5. Тогда:

 А^р _t=5 0,923 радиана.

 Или умножив это значение на  получим значение угла  в градусах:   А⁰  52⁰,884   =  52⁰ 53’ 03”.

Поставив в полученную для угла А  формулу  значения сторон             а = АВ = 12  и  с = АС =15  вычислим соответствующие углы С и В:

С^р _t=5  0,727 радиан или С⁰   41⁰,654  = 41⁰ 39’ 15”     

B^p_t=5    1,491 радиан или С⁰ 85⁰,428 = 85⁰ 25’ 41”

  Проверка:

сумма углов треугольника равна:

 в радианах:

 А^р + В^р + С^р = π

π = 0,923 + 1,491 + 0,727  3,14.

     Или в градусах:  А⁰  + В⁰ + С⁰ = 180⁰

 41,⁰654 + 85⁰,428 + 52⁰,884  179⁰,97     или   ⁰ 58’

  Вывод:   при выбранном нами t = 5 точность решения составляет 02’.

( при  t = 3  погрешность составляет менее  1⁰ ).

Как видим, стороны и углы треугольника можно соотнести друг другу без тригонометрических функций!

В математике существует  несколько известных формул, которые с помощью радикалов  дают выражения соотношений между сторонами некоторых вписанных правильных многоугольников (сокращенно – ВПМ)  и радиусом круга. Например: 

  а ₃ = R 1,7321 R

  a ₄ = R 1,4142 R

  a ₅ = R 1,1155 R

  a ₆ = R , где а _n – сторона ВПМ, n – число его сторон.

  Но, для большинства многоугольников (например, n = 7, n = 9, n = 11   и т.д.)  подобные формулы, как считается, невозможны, даже с помощью нагромождения большого числа радикалов.

   Формула (5) можно позволяет вычислить сторону любого  вписанного правильного многоугольника!

Задача 4.

 Найти сторону правильного вписанного  n-угольника.

    Решение:

     а)  Стороны  ВПМ – равны и делят  описанную окружность на равные дуги , число которых равно числу сторон  данного многоугольника - n.:

              =

  б)  Теперь сторону ПВn-угольника а_n  можно найти как хорду, стягивающую дугу   по формуле (5), достаточно только подставить значение числа сторон n.

          a _n = R    

или:

         а _n = R.

с) Например, подставив в полученную формулу значения числа сторон  правильного вписанного  n- угольника и выбирая параметр формулы t = 5, получаем для:

    а ₃  1,7322 R; а ₅  1,1156 R;  a ₇  0,8678 R  ,                                                что верно с точностью до 1/10000

======================================================

Полученные формулы можно использовать и для вычисления тригонометрических функций.

возврат    далее