содержание:

Антифонт

Ретроспекция бесконечного

Выход?

Альтернативная философия математики

Приложение-новые методы   

Вычисление длины дуги: альтернативные формулы

Применение новых формул

Новые тригонометрические формулы

О доказательстве формулы

Доказательство формулы Антифонта         

Формулы для вычисления числа пи

Вычисление параболических кривых

Кому это нужно?

Новые формулы для вычисления числа пи.

   Ранее было доказано, что:

 (1)

(2)

Подобных формул или рядов, сходящихся к числу пи  можно построить множество,-  для этого достаточно за начало удвоения взять любой правильный многоугольник, сторону которого можно выразить через радиус описывающей его окружности конечной алгебраической формулой с использованием радикалов, т.е. таких правильных многоугольников, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. А их, хотя и достаточно много, но всё же ограниченное количество.

      Ещё в Древней Греции было известно построение 3, 4, 5, 6, 15-угольников, вписанных в окружность. И лишь в 1796 году Гаусс доказал, что можно построить при помощи циркуля и линейки правильный многоугольник, если число его сторон равно простому числу Ферма, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537.

(Причём построение последнего в данном ряду 65537-угольника  стало возможным только в 1894 году благодаря работе  Иоганна  Гермеса.)

    Кроме того, Евклид в "Началах" указал, что если можно построить циркулем и линейкой  многоугольники со сторонами k и t, и при этом   k и t  - взаимно простые, то можно построить и многоугольник со стороной kt.

      Т.е. с помощью циркуля и линейки также можно построить правильные многоугольники со сторонами, произведениями простых чисел Ферма: 15, 51, 255, 771 и т.д..- стороны таких многоугольников можно выразить с помощью радикалов через радиус описывающей окружности, а, следовательно, такие формулы дают основание для нового ряда, сходящегося к числу пи.

Например, кроме треугольника и квадрата такие правильные вписанные многоугольники, как пяти-, шести-,  восьми-, десятиугольники и т.д., имеют формулы для своих сторон:

  a₅ = R    ,  

 a₆ = R , 

 a₈ = R    ,

a₁₀ = R    ,

 a₁₂ = R      ,  

  a₁₅ =    …

В их число не входят 7-ми, 9-ти, 11-ти угольники и т.д..

    На скорость  сходимости рядов к числу пи конечно же влияет то, с какого начального правильного вписанного многоугольника (ПВМ) начинается удвоение числа его сторон - чем больше сторон имеет начальный многоугольник, тем эффективнее работает формула.

   Например, начальный правильный треугольник, даёт формулу (1), квадрат – (2). Удвоение правильного вписанного пятиугольника позволяет получить формулу:

(3)

Или для 10-тиугольника более эффективную формулу:

(4)

    Для ускорения вычисления больших значений при машинном пересчёте (1) удобнее изменить алгоритм вычисления, возведя обе части уравнения в квадрат и преобразовав следующим образом:

 (5)

( что даёт  при t=10 ,   π= 3,141592619…, точность до 0,000000043)

Таким же образом можно преобразовать формулы, за основу которых принят начальный пяти- и десятиугольник.

            (6)

       (7)

 ( Что при t=6 даёт пи=3,141589… т.е. точность до 0,000003…

    При  t= 10   даёт пи=3,141592641… т.е. точность до 0,000000012…)

Приближенное значение числа пи можно показать и через формулу для стороны описанного многоугольника окружности R=1:

  ,    (8)

где:  в_n  - сторона описанного многоугольника, а_n  - сторона вписанного многоугольника.

Тогда:

      .   (9) 

Или:

       (10)

     Но формулы, полученные для сторон описанных  многоугольников более громоздки и дают более медленное схождение к числу пи, по сравнению к формулам для вписанного многоугольника. Поэтому более интересно было бы рассмотреть схождение ряда к числу пи с помощью периметра ещё одного типа правильных многоугольников, которые не относятся ни к описанным, ни к вписанным (которым я затрудняюсь дать точное название). Это такие правильные многоугольники, стороны которых имеют промежуточное значение между сторонами одноимённые вписанных и описанных многоугольников.

    С соответствии с принятой математической строгостью, значение числа пи находится в пределах между значениями периметров вписанного и описанного многоугольников. И если было бы возможно построение такого  «встроенного», «усредненного»  многоугольника,

Рис.1

   периметр которого  был бы сопоставим с длиной соответствующей окружности, то это было бы решением древнейшей задачи квадратуры круга, что невозможно по понятным причинам.

   Но  существует возможность получить формулу периметра правильного многоугольника, имеющего строну, например, равную средней арифметической от сторон соответствующих ему вписанного и описанного многоугольников: c_n =0.5(a_n +b_n) при неограниченном возрастании числа их сторон.

Конечно это не искомая древними математиками фигура, с периметром, равным окружности, но таким образом, мы формально соблюдаем требования математической строгости, поскольку полученный усредненный многоугольник при любом выбранном параметре t будет по своему периметру  занимать промежуточное положение между данными вписанным и описанным многоугольниками! Следовательно, получим множество новых и вполне законных формул для числа пи с достаточно хорошим схождением:

     ,         (11)

 где Q =   .  

(Что при t=6  даёт   π=3,14163… что точно до 0,00004)

Или:

    ,       (12)

где Q =

(Что даёт при t=6 значение π=3,1415978…, что точно до 0,000005)

Или:

        ,     (13)

где: 

  Q =         (14)

(Что даёт при t=6 значение π=3,141594231…, что точно до 0,0000014.

При t=10 формула фактически использует  периметр десятикратно  удвоенного вписанного пятиугольника, т.е. 10240-угольника и показывает  точность числа пи до 0,000000006. )

Я не ставил своей целью нахождение большого числа новых формул, для вычисления числа пи, хотя можно было бы взять за начальный многоугольник значение (или формулу), например, 257- или даже 65537-угольник, подставив это значение в формулу удвоения, сразу получить число пи с высокой точностью и ряд с высокой сходимостью, т.е. создать модель вложенных формул. Но эта задача не очень интересная, т.к. по-прежнему считаю, что такие вычисления бесполезное занятие, - с тем же успехом можно было бы заняться вычислением с огромной точностью, например, корня квадратного из трех. Хотя признаю, что тяга к таким вычислениям, очевидно, заложена на подсознательном уровне, как стремление объять необъятное, как сладостное головокружение перед бездной числовой бесконечности. (Более того, выше было показано, что практически во всех задачах с окружностью можно обойтись и без числа Пи!)

   В моём же случае формулы для числа пи появились как побочный материал при исследовании атомических, альтернативных методов математики, в частности поисков проявления онтологических признаков дихотомии в арифметики.

 Возврат   далее