содержание:

Антифонт

Ретроспекция бесконечного

Выход?

Альтернативная философия математики

Приложение-новые методы   

Вычисление длины дуги: альтернативные формулы

Применение новых формул

Новые тригонометрические формулы

О доказательстве формулы

Доказательство формулы Антифонта         

Формулы для вычисления числа пи

Вычисление кривых

Кому это нужно? 

Вычисление  параболических кривых (методом дихотомии)

Метод  дихотомии возможно применить не только для элементов окружности, но и для нахождения длины кривых линий различного порядка, причём без применения дифференциалов!

Например, найти длину параболы от центра координат до любой выбранной точки на кривой с любой точностью можно представить как совокупность прямолинейных отрезков a₁, a₂,…, a_n .

1.   Для  y=x²  простые алгебраические преобразования позволяют получить относительно простую формулу:

    . 

  где:   .       (1)     (При   n=1,2,4,8,…2^t)  

Поясним на примере:

Понятно, что дихотомическое деление позволяет получить число отрезков , кратное 2^t   (t   Q), т.е. n=1,2,4,8,…2^t. Чем больше коэффициент деления  t, тем больше число прямолинейных отрезков а_n , являющихся хордами параболы, будут представлять её образ, тем больше сумма её хорд будет стремится к истинной длине данного отрезка параболы от центра оси координат до выбранной  точки (х;y=х²).

  Для примера найдём длину участка параболы y=x²  от 0 до точки с координатой  x=7. Выберем коэффициент дихотомии  t=2. Тогда: n=2^t=4. (см. рис.)

Где:

     При t=2 :  

2.    Для y=kx²  формула (1) имеет общий вид:             

.       

Следовательно, выбрав коэффициент k кратным x, получаем общую формулу для параболических кривых типа y=mx^f .

Например, функции y=3x³ соответствует y=kx²  , где k=3x и решение  для x=7 и n=2 будет выглядеть следующим образом:

Длина участка параболы от 0 до координаты х=7 при однократном делении (как сумма двух прямолинейных отрезков а₁ и а₂) будет примерно равна:

L_0;7=a₁+a₂

Для n=2    →  t=1. Тогда:

Безусловно, это только показательное решение, не претендующее на высокую точность, которая достигается при большей степени дихотомического деления. Но однотипность алгоритма нахождения отрезков а_n предполагает принципиальную возможность альтернативы классическим методам при машинных решениях подобных задач.

3.     Для нахождения длин произвольных отрезков парабол  (не от центра координат) l_x1;x2 достаточно вычесть длину меньшей параболы из большей:  l_x1;x2 = l_0;x1 - l_0;x1

возврат       далее