содержание:

Новые тригонометрические формулы.

Из истории тригонометрии.

Наивысшего развития геометрия получила в древней Греции около 2,5 тыс. лет назад. Приняв за основу простейшие геометрические свойства, греческие ученые создали стройную систему геометрических знаний, которая приняла свой завершенный вид в «Началах» Евклида около 300 года до н.э.

С развитием астрономии появляется потребность в решении треугольников и тригонометрия долгое время изучалась и развивалась как один из разделов астрономии. Считается, что основоположником сферической геометрии был Гиппарх (2 век до н.э.) и ему приписывается составление таблицы хорд окружности.

Менелай , римский астроном 1 века н.э. ,написал трактат из 3-х книг «Сферика» , в которой он систематически исследовал свойства сферических треугольников , но наивысшими достижениями тригонометрия обязана астроному Птолемею( 2 век н.э..) В своем труде «Математическое построение» или «Альмагест» Клавдий Птолемей развил результаты Гиппарха и Менелая и указал общие и строгие методы вычисления хорд, стягивающие дуги окружности. В основу своей астрономии он положил предварительно им сформулированные и доказанные тригонометрические теоремы.

Не зная синусов и косинусов, греческие астрономы пользовались таблицами, позволяющими находить хорду окружности по стягиваемой дуге. Позаимствовав у вавилонян шестидесятеричное исчисление, греки измеряли хорды также как и дуги - в градусах, минутах и секундах (один градус составлял одну шестидесятую часть радиуса). При вычислении таблиц хорд для всех дуг через каждые 0,5°, Птолемей использовал открытую им теорему о диагоналях вписанного четырехугольника: «в выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон».

Индийские и арабские средневековые астрономы так же, как и греки использовали градусное измерение дуг, но при этом вместо хорд рассматривали

Современное определение тригонометрических функций — синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов было дано в 10 веке багдадским ученым Мухаммедом, известным под именем Абу-ль-Вафа.

Немецкий астроном 15 века Регимонтан составил таблицы синусов через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры. Он впервые принял за единицу измерения линии синуса одну десятимиллионную часть радиуса. Затем Ретикус вместе с помощниками в течение 30 лет создает таблицы, в которых синусы имели 15 верных чисел.

Современный вид тригонометрия приобрела благодаря труду академика Эйлера(1707-1783 г.).

До 18 века для составления тригонометрических таблиц использовались очень громоздкие методы. Например, принималось, что при малом центральном угле a длина хорды приблизительно равнялась соответствующей ей дуге (при а=10⁰ , . Тогда взяв достаточно малый угол, можно найти синус этого угла с заданной точностью. Далее по тригонометрическим формулам определяется косинус этого угла ( ) , тангенс и т.д.. После этого по формулам двойного угла вычислялось и и т.д..

Этот колоссальный труд в настоящее время можно значительно упростить методами высшей математики. Например:

, где х – число в радианах.

Но, существует возможность использовать альтернативную формулу.

Так как равен отношению полухорды к радиусу

, R приняв за единицу, а хорду АВ по формуле

(1)

можно выразить через дугу , то получим новые тригонометрические формулы:

1.Для синусов:

Например:

для α=15⁰ при t = 4 результат будет: sin15⁰=0,258821… , что точно до 0,000002. Для α=40⁰ и t=4 результат будет sin40⁰=0,64283… , что точно до 0,00005.

Если не требуется большая точность, то формулу можно значительно упростить, выбрав t= 0 (!). Тогда, к примеру, для α=20⁰ она будет выглядеть:

(3), что точно до 0,0017

В радианах формула синусов примет вид:

Например, при t=1 формула упрощается до вида:

(что при n=0,3 rad даёт точность 0,00026).

Конечно, классическая формула даёт большую точность

(до 0,000004) уже при:

Но разговор здесь не о конкуренции практических методов вычисления, а о теоретической альтернативе. Тем более, что если взять формулу, начальной фигурой удвоения которой является не квадрат, а многоугольник с большим числом сторон, то точность такой формулы значительно возрастает. (См. далее)

2. Для косинусов получаем формулу:

Например, для угла α=20⁰ уже при t=1 точность полученного значения равна 0,0004

Или в радианах:

Например, для cos 0,5_рад при t = 5 формула даёт значение 0,8775801, что точно до 0,000002.

Для cos 0,3_рад уже при t = 0 формула даёт значение 0,9552531, что точно до 0,00008 и имеет простой вид:

возврат далее

Хостинг от uCoz