содержание:

Антифонт

Ретроспекция бесконечного

Выход?

Альтернативная философия

 математики

Приложение-новые методы   

Вычисление длины дуги: альтернативные формулы

Применение новых формул

Новые тригонометрические формулы

О доказательстве формулы

Доказательство формулы Антифонта         

Формулы для вычисления числа пи

Вычисление кривых

Кому это нужно?

  Выход?

Плутарх de communibus notitiis [Стоики]: "Подобно тому как «безразличное» есть нечто среднее между добром и злом, точно так же есть нечто среднее между конечным и бесконечным..."

«Из ничего  не может ничего возникнуть, и ни одна вещь не может превратиться в ничто.» - из работ Демокрита.

       Но появляется афинских улицах неприметный человек, некто  Демокрит (460-360 до н.э.), из далёкой Фракии (там, где живут варвары-скифы), города Абдеры (что в переводе -"город придурков"). Внимательно слушает он высокомерные речи Анаксагора, удивительные диалоги Сократа, беседует со многими философами-софистами. Много лет Демокрит странствовал в поисках истины в Египте, Персии, Индии, Вавилоне и, как ему кажется, может предложить простую и очевидную идею, услышанную им от учёного мужа Левкиппа, которая устранит возникшие противоречия. Идея заключалась в том, чтобы, следуя рациональным соображениям, для бесконечных процессов в логике и математике установить некий предел по делению, границу, возможно в чём-то условную, как некий достигнутый горизонт вычислений, но принятую как аксиома, резонно полагая, что аксиомы принимаются на основании не интуиции, а самоочевидных и проверенных опытом истин, ведь доказать и проверить утверждения Гераклита и постулат Анаксагора о бесконечности деления человеческим разумом всё равно невозможно. 

 "...Демокрит, как это установлено в современной науке, вовсе не понимал свои атомы как в полном смысле неделимые величины. Атомы – это только отдельные пункты постепенного уменьшения любой величины. Они являются каждый раз пределом для уменьшения больших величин и началом дальнейшего уменьшения, причем это уменьшение никогда не может достигнуть нуля." А.Ф.Лосев. "Итоги тысячелетнего развития"

Таким образом, неопределённые, бесконечно малые элементы первоосновы сущего, образованные в результате бесконечного деления, должны получить статус имеющих конкретную величину неделимых элементов - атомов (неделимый-греч.).  На первый взгляд рассуждения Демокрита кажутся логическим абсурдом - ведь достаточно ещё одного деления и выбранное предельное значение уменьшится, и так можно продолжать сколь угодно много раз. Но том-то и дело, что сколько бы мы не перемещали этот предел (границу), сколько бы раз ни возобновляли деление,-  в соответствии с математическими  (да и с логическими) законами всегда будет оставаться какая-то конкретная величина, которая ни при каких условиях не превратится в "ничто". Понятие же бесконечно малого понимается либо как непрерывный физический процесс деления, который вообще невозможно отобразить в математике, либо как условное округление до нуля сверхмалой, но реальной  величины, что ни логически, ни математически не корректно, т.к. оно строится только на основании субъективных ощущений, как искусственная попытка математического отображения непрерывного (гераклитовского) движения, движения некой неразмерной, призрачной точки. Из такой точки никогда не сможет образоваться величина. Принятие же постулата конечности деления (или конечно малых) позволяет построить целостную и всеобъемлющую теорию. Например, мир состоит из ничтожно малых, но неделимых до бесконечности материальных частиц - атомов, находящихся в непрерывном движении, которые разделяет пустота, как элемент дискретности. Пустота, вопреки Пармениду, существует как часть бытия - она беспредельна и не поддаётся определению, а сочетания атомов, их взаиморасположения и взаимодействия между собой порождает разнообразие вещей и их свойств...

Из учения Демокрита:
"...чтобы нам не сделать все существующее лишённым всякой силы и чтобы не быть принужденными в наших понятиях о сложных телах остаться без реальности, распыляя ее в ничто." 

(Отказ от понятия бесконечного деления,- а именно эта идея лежит в основание атомизма, устраняет логические недоразумения, возникающие при рассмотрение апорий Зенона, а значит допускает построение основ непротиворечивой математики, как основного инструмента естествознания.
Очевидно это была попытка отделить математику от общефилософских, иррациональных рассуждений Гераклита. Конечно философия, как средство логического и умозрительного познавания окружающего мира, вправе пользоваться достижения любого раздела науки, но Демокрит поднимает вопрос о том, насколько правомерно переносить в основания математики такое физическое понятие, как движение, и как производное от него философское понятие - бесконечность.

Возможно возражение: из работ Аристотеля известно, что Демокрит и Левкипп отвергая бесконечность деления, в то же время якобы признавали бесконечную множественность миров. Но тогда возникает явное логическое противоречие: если бы существовала бесконечная сумма чего-либо, то для неё было бы правомерно обратное действие - бесконечность деления, что противоречит самой сути атомизма. Множественность и бесконечность деления - неразделимые понятия.  Очевидно,  Демокрит признаёт теоретическую возможность бесконечного, как чисто философского понятия чего-то непостижимо большого, но отвергает актуально бесконечное в физическом и математическом смысле, т.е. не Аристотель, а сам Демокрит вводит понятие потенциально возможного.
(Аристотель metaph. XI 1069 в 22. "И как говорит Демокрит, все было в возможности, но не в действительности.")

===
Аэций: " Некоторые [принимают] атомы и [полагают, что] деление останавливается на неделимых и не идет в бесконечность..."
Симплиций phys. p. 925. : "... отвергшие делимость до бесконечности на том основании, что мы не можем делить до бесконечности и из этого удостовериться в бесконечности деления, говорили, что тела состоят из неделимых и делятся до [этих] неделимых."
Аристотель «Метафизика» VI: "...С другой стороны, и бесконечного множества [начал] быть не может, так как [в этом случае] сущее будет непознаваемо. ...И если допустить, что [сущее состоит] из конечного числа [начал], лучше взять их конечное число, как это делает Эмпедокл, чем бесконечное; ведь [с их помощью] он считает возможным объяснить все то, что и Анаксагор с помощью бесконечного числа. "
Аристотель «Метафизика» XIII: " В самом деле говорить, что существуют неделимые величины, неправильно. Но даже если бы это было так, то уж во всяком случае единицы не имеют величины... Но с другой стороны, как из неделимых может образоваться величина?..)===

По сути, то, что предлагает Демокрит, вводя принцип конечности деления, делается постоянно при решении любой математической задачи: введём в апории Зенона метрическую шкалу для расстояний и времени - километры, метры, минуты и все необъяснимые противоречия сразу исчезают- задачи становится простыми до примитивности! А ведь введение метрики - это ничто иное, как введение условных и неделимых величин. Конечно, метры можно разделить на сантиметры, сантиметры на миллиметры и т.д., но при этом данные величины потеряют своё качество: например, метр перестанет быть метром, а станет долей метра. В любом случае придётся когда-нибудь остановится на какой-то малой неделимой величине, для того чтобы получить хоть какое-то решение. В противном случае решение невозможно! Таким образом самоочевидные, установленные практикой факты, давали Демокриту больше прав для введения постулата понятия конечности деления (как главного условия для математических решений), чем Анаксагору введение постулата бесконечности.

Какие ещё основания были у Демокрита для того, чтобы вводить новую основополагающую аксиому?
Атомы Демокрита можно рассматривать в трёх полях: в физическом, геометрическом и математическом. Все эти поля имеют как общие свойства - на их общности собственно и построена вся греческая философия (да и современная наука), так и отличные, своеобразные характеристики.

1.  К примеру, физическим атомом Демокрит предлагает считать такую минимальную материальную величину, которую уже невозможно разделить ни каким существующим в данный момент разделительным инструментом ("ибо толщина лезвия больше величины атома"). Но если такой инструмент удастся создать, то размер атома можно уменьшить до какой-то меньшей, но опять неделимой для данного момента времени величины. Демокрит не настаивает на какой-то конкретной величине атома, а предлагает ввести некую общую дискретную систему мировоззрения, которая не противоречила бы математической логике.

Показательный пример в физике элементарных частиц: впервые обнаруженные молекулы считались неделимыми элементами, пока с получением более "тонких инструментов" не были открыты атомы, потом их составляющие - протоны, нейтроны, электроны.  Затем - фотоны и нейтрино, которые уже переходят некую границу, предельную для материальных частиц, т.к. они не имеют важнейшего качества материи - массы. Гейзенберг в 1927 году в квантовой механике сформулировал принцип неопределённости, показывающий, что существует предел, до которого физики в принципе могут производить измерения: энергия фотона, как "инструмента деления", становится так велика, что недопустимо влияет на результаты измерения свойств новых элементарных частиц. (Кстати, важная характеристика атома — его внутренняя энергия, которая может принимать лишь определенные (дискретные) значения, соответствующие устойчивым состояниям атома, и изменяется только скачкообразно путем квантового перехода. Не может квантовая механика обойтись и без введённых ограничений - постулатов о конечности скорости света и конечности кванта действия. Все эти факты явно в пользу теории Демокрита.)

Теория физических атомов Демокрита, просуществовала в течение многих веков вплоть до XIX-XX вв.. Причина отказа от неё наукой заключалась в том, что ранее принятое свойство атомов, как сверхплотной, а потому неделимой частицы (без пустоты), не вписывались в новую теорию элементарных частиц. Но самое интересное, что у Демокрита о таком свойстве атомов не упоминается - это явные интерпретации его последователей и критиков, основанные на собственном понимании самой идеи атомизма. В высказываниях же философа говорится об  условности величины атома, поэтому одно из самых "тёмных" утверждений Демокрита о том, что атом может быть любого размера (хоть со Вселенную), становится совершенно понятным.

2. (Аристотель de coelo III : " Ведь некоторым образом и они [Левкипп и Демокрит] все сущее считают числами и [производят] из чисел. Ибо если [это] и неясно они высказывают, однако [именно] это они хотят сказать."
Аристотель «Метафизика» XIII.: Подобно тому как некоторые [Левкипп и Демокрит] слагали сущее из мельчайших [телец], так и эти [пифагорейцы], в силу чего единица становится [у них] материей чисел...)
"Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым."

В математике у Демокрита были основания вводить свои атомы потому, что он (будучи продолжателем идей Парменида, который в свою очередь был учеником пифагорейца Аминия) отожествлял каждый начальный элемент сущего с неделимой единицей - монадой, своего рода математическим атомом, а каждая вещь подразумевалось как "множество, состоящее из неделимых единиц".  Соотношения же чисел у пифагорейцев отвечали за различные проявления сущего, его свойства, в частности за гармонию, звуки, движение (планет) и т.п.. В то время, как сторонники ионической школы считали соотношения целых чисел (рациональную дробь) - числом и сопоставляли каждый элемент сущего с отношениями чисел - дробями. (Интересно, что слово "логос" в то время имело множество значений, но в математике означало отношение двух величин, т.е. по-современному - дробь.)

    Пифагорейцы указывали на очевидное - все натуральные числа имеют свой естественный предел по делению, ограниченный числом простых множителей для каждого натурального (это свойство, например, используется в Теории чисел для доказательства "методом спуска", применённого П.Ферма и Л.Эйлером), следовательно такой неделимый предел должен относится и к каждому элементу мироздания. Более того, если по логике для бесконечного не может быть ни начала, ни конца ("бесконечное - бесконечно во всём"), то последовательность натуральных чисел имеет своё начало 1,2,3,..n ("имеющее начало должно иметь и конец"), значит она конечна, или по крайней мере должна приниматься как конечная?!

(В своё время основатель теории множеств Георг Кантор определил бесконечность как длину нескончаемого перечня натуральных чисел и всё, что по величине сравнимо с этим перечнем чисел, также бесконечно. Аналогично рассуждали и представители ионической философской школы. Но есть ли доказательства бесконечности ряда натуральных чисел? Здесь можно продемонстрировать очень необычную, даже парадоксальную "теорему" (на подобии апорий Зенона) о конечности ряда натуральных чисел (да простят меня математики и логики)!  Например:
"Если допустить, что существует бесконечное множество натуральных чисел, то следовательно на такое множество должно распространятся и правило бесконечно деления. Т.е., если есть бесконечное умножение, то должно быть и обратное действие - бесконечное деление. Но для ряда натуральных чисел бесконечное деление не выполняется, так как он имеет своё начало (1,2,3,...n), а каждое натуральное  имеет конечное число делителей (из опыта).  Следовательно невозможно и бесконечное умножение? И даже то, что неизменный и необходимый спутник  понятия бесконечности - нуль, не является членом ряда натуральных чисел говорит за то, что и понятие бесконечности с этим рядом несовместимо!" - Отсюда странный на первый взгляд вывод: ряд натуральных чисел "всегда" конечен!?
Для этого случая Аристотель сказал бы, что "подобные рассуждения подрывают основы математики". Но здесь скорее подрываются основания для принятия в арифметике очень условного, недоказуемого и нечислового понятия - постулата бесконечности. (Конечно, в своём высказывание Аристотель подразумевал существующую возможность бесконечного деления чисел на дроби, не замечая  однако, что при этом натуральные числа теряют своё качество - перестают быть натуральными числами, превращаясь в натуральные дроби- соотношения чисел, а это нарушение принятого условия. Вот тут главная, на мой взгляд, причина конфликта между представителями ионической и элейской философскими школами - считать ли отношения натуральных чисел (т.е. дроби) за числа? )

3.  При рассмотрении геометрического аспекта проблемы бесконечного Демокрит так же выглядит достаточно убедительным. Если принять, что геометрическая точка не имеет размера, то как из таких точек получить линию, ведь в сумме такие точки ничего не дают. И каково число этих точек в каждом отрезке, получаемом рассечением данной линии? Очевидно, что любой из отрезков будет содержать также бесконечное число точек, хотя отрезки и будут разной длины. Как же тогда сравнивать такие отрезки?
Получается, что существует множество "бесконечностей" разной размерности! Как можно складывать или делить эти бесконечности? И, далее: отрезки получаются рассечением линии через выбранные точки, а если эти точки не имеют размера (т.е. фактически не существуют!), или имеют некий переменный размер, то как определить границы отрезка, его начало и конец - по крайней мере первая и последняя точки отрезка должны быть определены, иначе как из таких неопределённых отрезков производить конечные построения? Бесконечно малые, не размерные точки не могут составить никакого отрезка, а такие линии не могут составить никакой плоскости, т.к. линии имеют только один размер - длину. Или, например, объём тела определяется как совокупность плоских сечений, но такие сечения в сумме ничего не дадут. Это противоречит логике и здравому смыслу, ведь реально существуют формулы для нахождения объёмов фигур. И эти формулы доказываются исходя из того, что точка всё же имеет размер! И здесь Демокрит демонстрирует эффективность своего корпускулярного метода для нахождения объёмов конуса, цилиндра и шара.

Демокрит принципы атомизма переносит и на геометрические объекты, которые по его мнению, всегда можно рассечь на некие дискретные, далее условно неделимые элементы. Т.е. любая линии, так же как и любая плоская геометрическая фигура или тело трех измерений, может состоять из очень большого, но всегда конечного числа геометрических атомов: для линий - это дискретные точки, для плоскости - линии, для пространств - плоскости, и даже для объёмных тел - это неделимые геометрические фигуры различных видов.


   (Геометрический атом, пожалуй, самое спорное место во всей теории Демокрита. На этот счёт существуют самые противоречивые (а часто собственные) мнения последователей Демокрита или его критиков: Протагора, Аристотеля, Платона, Ксенократа, Схония, Эпикура, Хрисиппа и т.д.. Часто эти мнения основываются на слишком детальном исследовании геометрического атома. Но ведь Демокрит в своём учение не настаивал на какой-то конкретной форме или конкретном размере своих атомов: в одних случая он использует "кружочки", в других - "призмочки" или "пирамидки",  т.е. даёт полную свободу выбора, предлагая ввести некий потенциальный элемент дискретности геометрии, при этом подчёркивая, что данный элемент очень условен и находится вне скрупулезного  рассмотрения, на уровне сверхчувствительного,  не материального восприятия . Поэтому, например, критика Аристотеля о множественности общих элементов линий при их пересечении можно конечно разрешить, приняв точечную дискретность этих линий, учитывая их соразмерность. Или, например, "неровность" боковых граней призмы (Хрисипп) можно устранить выбором произвольных форм атомов для этих граней и т.д.. Но это вряд ли следует делать, т.к. многие положения геометрии Демокрита можно совместить с геометрией Евклида - ведь размер точек практически равен нулю, и их количество сколь угодно много для любого объекта, просто постулатно это количество считается конечным. Но самое главное,  критиковать Демокрита не видя его работ по геометрии не имеет никакого смысла.

Одним из самых интересных моментов в теории Демокрита было введение им в новую геометрию понятия атомного отрезка: линии могут состоять не только из дискретных точек, но и обладать ещё одним общим элементом дискретности - минимальным, неделимым отрезком. Такое нововведение было необходимо для обобщения свойств прямых и кривых, т.к. кривые не вписывались в новую дискретную теорию.

(Аристотель: «Вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не установил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от других»).

Согласно свидетельству Диогена Лаэрция, из 70 работ Демокрита было несколько и по математике: "О различии между (законнорожденной и незаконнорожденной) мыслью, или О касании круга и шара", "О несоизмеримых линиях и телах", "Геометрию",  где обосновывал введение совершенного нового, альтернативного взгляда на геометрию, но от этих работ, к сожалению, практически ничего не сохранилось. Поэтому можно только догадываться об идеях автора:
а) возможно Демокрит предлагал считать линейным геометрическим атомом единичный отрезок, который и ранее применялся  геометрических задачах, считая его условно минимальный и неделимый для данной плоскости или для данной геометрической задачи;
б) возможно, теоретический атомный отрезок мог состоять из двух "касающихся" точек, т.к. отрезок в три точки и более несет в себе индификационные свойства линии,- прямой или кривой. (Конечно, этот атомный отрезок может быть разделён на две дискретные точки, но при этом он перестанет быть отрезком, поэтому качественно он является неделимым.)
Но самое главное, что Демокрит рассматривает и прямую, и кривую как совокупность минимальных атомных отрезков: кривая при этом представляется как ломаная, а длина кривой - как их сумма этих отрезков.
( Климент Александрийский: Демокрит говорит о себе следующее: «Из всех моих современников я обошел наибольшую часть Земли; я делал исследования более глубокие, чем кто-либо другой; я видел много разнообразных климатов и стран и слышал весьма многих ученых людей, и никто еще меня не превзошел в сложении линий, сопровождаемом логическим доказательством»)

(Схолии к Аристотелю de coelo 11р. : "Из дающих учение о неделимых одни говорят, что существуют неделимые тела, как Левкипп и Демокрит, другие принимают неделимые линии, как Ксенократ, а Платон допускает [неделимые] плоскости."
Так, что возможно идея неделимых отрезков, хотя и вытекала из атомарной теории, но принадлежала не самому Демокриту, а кому-то из его современников: Ксенократу (школа Платона), Протагору, Антифонту..?

 Аристотель de gen. et corr. I : "Ибо постольку отличается учение его [Платона] от учения Левкиппа, поскольку один из них считает неделимыми твердые [тела], другой же- плоскости, и один [учит], что [эти] неделимые твердые [тела] имеют бесконечно разнообразные формы, другой же -что [у неделимых плоскостей] одна определенная форма, ибо оба они [одинаково] говорят, что [существуют] неделимые и [что] они имеют определенные формы.-- )

=============
...Демокрит значительное время живёт у кого-то в Афинах и достоверно неизвестно, насколько хорошо он был знаком с Антифонтом, но факты свидетельствуют, что Антифонт сразу и безоговорочно принимает новую теорию. Более того, не Демокрит, а именно Антифонт первым знакомит афинян с новой теорией. Дискретная концепция Демокрита судя по всему с воодушевлением была принята многими его современниками как наиболее научная и рациональная для того времени- даже Анаксагор вынужден пересмотреть свои взгляды на понятие бесконечно малых, вводя в свою теорию т.н. неделимые "семена жизни" (и даже заняться квадратурой круга). Но последующие драматические события истории самым невероятным образом отражаются и на математике...

    Демократические эксперименты Перикла вызывают нескрываемое беспокойство не только внутри Делосского союза. Члены Пелопоннесского союза возглавляемого Спартой выдвигают Афинам ультиматум - Перикл со своей командой безбожников должны безвозвратно покинуть Аттику. В результате в 431 г. до н.э. на всём Средиземноморье начинается невиданная по масштабам война, охватившая большое число стран и народов. В 430 до н.э. приходят трагические вести из Элеи - там после жесточайших пыток казнён философ Зенон, как участник неудачного заговора против тирана Неарха. Настало время когда философия стала одной из самых опасных профессий. Начинаются волнения в самих Афинах - чудом удаётся избежать смертной казни Анаксагору - он бежит благодаря помощи Перикла. Но вскоре (429 до н.э.) в осаждённых Афинах вспыхивает эпидемия чумы унося множество жизней, в том числе и Перикла. Причину всех бед афиняне видят в разрушительной для религии и общества деятельности материалистов-философов. В 411 до н.э. реакционный режим "четырёхсот" начинает травлю вольнодумцев и впервые в европейской истории пылают на городских улицах костры из книг политических оппонентов. В тюрьме Антифонт. Протагор бежит от смертной казни в Сицилию, но погибает во время шторма. 404 до н.э.. Полное поражение Афин в Пелопоннесской войне - потерян флот, разрушены крепостные стены, у власти "тридцать тиранов". И как заключительный аккорд ранней афинской демократии - казнь ни в чём неповинного Сократа (469-399 до н.э.). Бегут из Афин его ученики, в том числе и Платон(429-347 дон.э.). В 387 до н.э. Платон вернётся, чтобы основать здесь свою Академию (в которой в 366 до н.э. появится Аристотель) и переосмыслить причины и последствия произошедшей катастрофы.

Аристотель, как физик, с большим интересом относился к физическим атомам Демокрита, но отверг математический и геометрический аспекты его теории, а также пифагорейское представление числа как неделимой монады. Представители же школы Платона, занимающиеся логическими и математическими исследованиями, наоборот пытались развить геометрические идеи атомизма (и даже предлагали постулировать их!).

Аристотель «.Метафизика»: "Против этого рода (т. е. понятия о непротяженных точках) и выступал Платон, считая его геометрической догмой (т.е. необоснованным утверждением). В противоположность этому он называл [точку] «началом линии» и часто принимал этот род (т. е. точки) за неделимые линии."

В то время как физическая атомная модель мироздания, предложенная Левкиппом и Демокритом, вызывала у Платона нескрываемое раздражение и опасения - подобное упрощёние показывает лишь механическую структуру бытия, но видимый материальный мир лишь тень действительного мира: истинное бытиё заключено в вечных и неизменных общих идеях, существующих объективно. Познание есть анамнесис - воспоминание души об идеях, которые она созерцала до её соединения с телом. Воплощение этих идей и есть главная цель сущего. (Конечно, такая теория есть развитие философии его учителя  Сократа, который выступал против детерминизма материалистов, противопоставив ему телеологическое учение о цели, которая определяет существование любой вещи.)

В поисках истины Платон совершает несколько поездок в Южную Италию (Лорка, 387 до н.э.) и Сицилию (367 и 361 до н.э.), где знакомится с работами пифагорейцев и развивает тему онтологического статуса идей, в том числе и математических. (Правда, в "Пармениде" он говорит о необходимости сохранять такие идеи и диалектику как основной метод упражнения в философии.)
Материализм (да и демократия) вскоре признаются  Платоном самыми худшими и опасными явлениями для человечества. Несмотря на то, что сам Демокрит верил в существование мира духов и богов, более того пытался применить корпускулярную теорию для объяснения эффектов духовного мира, но странным образом, практически все его последователи оказывались явными или скрытными безбожниками, т.к. в его теории не оставалось места вечным богам. Платон прекрасно понимал, какую страшную опасность таят в себе гениальные идеи первого материалиста и детерминиста для религии, являющейся в то время цементирующей основой для государства и нравственных устоев общества. Более того, отсутствие в теории Демокрита высших целей и идей по сути лишает смысла само существование человека, а потому Платон требует уничтожения его сочинений.

(Аристоксен в своих "Исторических записках" сообщает, что Платон хотел сжечь все сочинения Демокрита, какие только мог собрать, но пифагорейцы Амикл и Клиний помешали ему, указав, что это бесполезно: книги его уже у многих на руках".)

Аристотель в споре с Платоном решительно критикует учение о сверхчувствительном мире идей, которые не могут дать ответ на причины происхождения вещей: "Говорить, что идеи это образцы и что всё остальное им причастно,- значит произносить пустые слова и выражаться поэтическими метафорами". Более того, первое время Аристотель поддерживает материалистические идеи Демокрита ("Платон мне друг, но истина дороже"), но в дальнейшем свою точку зрения меняет, принимая материю пассивной и бесформенной, а одухотворяющей её силой и перводвигателем природы признаёт  "форму всех форм" (т.е. Бога.). Для  решения проблемы несоизмеримости отрезков, площадей и объёмов Аристотель водит запрет на применение арифметики к геометрии, строго отделив науку о числах. - «искусство счисления», от геометрии -  «искусства измерения». Аристотель вводит основные принципы бытия: действительность и возможность (акт и потенция), форма и материя; всё имеет свою действующую причину и цель, Вселенная конечна, физические законы не имеют общего характера, а потому постичь природу математикой невозможно - её можно только классифицировать, а не объяснять. И Платон и Аристотель (не будучи в полном смысле математиками) рассматривают математику только как аспект философии... Пришло время реакции и идеализма. И теперь уже не неделимая единица Пифагора стала олицетворением божественного первоначала, а понятие бесконечного - божественным символом вечности и всемогущества.

Евдокс Книдский (школа Платона, 408-355 до н.э.) предложил решение парадоксов Зенона методом отношений чисто геометрических величин: так называемый "метод исчерпывания", где средствами формальной логики обходил ловушки бесконечно малых величин, при этом старательно избегая самого выражения "бесконечность". Он предлагает следующую аксиому: "если даны два произвольных отрезка t  и  k то всегда можно столько раз (например n раз) присоединить t к самому себе, чтобы сумма отрезков nt стала большей, чем k." Это означает не только то, что все отрезки по величине одного порядка, но и то,  что не существует актуально бесконечно большого или малого. ("Отрезок  t называется бесконечно малым по сравнению с отрезком k, если любая сумма отрезков nk, сколько бы их ни взять, всегда остаётся меньше t." Странно, хотя данная аксиома и стала первоосновой для определения современного понятия пределов, но введение Евдоксом конечного числа действия n по сути является признанием демокритовой дискретной теории!).

Интересно, что идея гераклитовского континуума и платоновского идеализма также просуществовала в Афинах недолго,- после вторжения Александра Македонского духовный и научный центр из Афин благодаря Птолемеям перемещается в Александрию, где сокрушается новой, неукротимой силой римлян. Римляне, судя по-всему, не очень-то страдали противоречиями Гераклита с его бесконечным переливанием и движением. Римская технократическая цивилизация просто перенесла иррациональные проблемы бесконечности в область теологии и искусства, оставив математику чисто прикладной  и непротиворечивой наукой, служащей на благо обществу и прогрессу - соседи-элейцы здесь довели своё дело до конца. (Правда считают, что не арабское нашествие, а именно отказ римлян от теоретической математики способствовало в дальнейшем полному упаду математики в Европе.)
Уцелевшие, но невостребованные труды древних греков столетия пылились в архивах Ватикана, пока схоластические теории мироздания оказались явно  устаревшими и не продуктивными. Тогда на свет и появились первые латинские переводы древнегреческих философов, помогающие Ватикану подвести некую научную основу для религиозным догмам. В европейскую науку с тех пор прочно входят понятия  бесконечности, правда не беспрекословно ( Галилей, Кавальери).
На самом деле атомарная  геометрия как призрак существовала и существует до сих пор, (правда, как непризнанная и альтернативная). Но нет ни одного классического математика, который в той или иной мере не использовало дискретную концепцию. Известно, что Архимед широко использовал метод Демокрита, называя его "механическим", а, например, Кеплер и Виет считали, что окружность состоит из очень большого числа крошечных, неделимых прямолинейных отрезков. Да и современные методы интегрирования имеют явно атомиские корни.

В средние века понятие бесконечного использовалось в основном в философском, теологическом или физическом смысле, а начиная от Ньютона и Лейбница бесконечно малые вводятся и в математику. (Но, следует заметить, что в 17-18 веках абсолютное большинство математиков Европы были увлечены идеей математического доказательства существования Бога - формулы Бога, что немыслимо без теософского понятия бесконечного.) Однако им так и не удалось ответить на главный и простой вопрос - имеют ли какую-либо величину эти бесконечно малые и если они равны нулю, то когда и как наступает момент "исчезновения" этой величины. В 1821 году Коши, используя даламберово понятие предела просто постулирует "бесконечно малые количества", которые и по сей день являются основой анализа, и которые, хотя и учитывают парадоксы Зенона, но полностью их не устраняют.
 

========
...Доподлинно неизвестно как и где закончилась жизнь Антифонта, но можно догадаться, что находясь в темнице он для решения квадратуры круга использует новейшую для своего времени геометрию (евклидова геометрия появится несколько позже) - атомные отрезки, общие для прямой и кривой. Очевидно, Антифонт рассуждает следующим образом: если окружность - есть ломанная, то она представляет из себя равносторонний многоугольник с очень большим, но конечным числом сторон, сумма которых равна периметру окружности. А так как для любого многоугольника всегда можно построить равновеликий квадрат, то принципиально квадратура круга разрешима. Т.е. Антифонт доказывает теоретическую возможность квадратуры круга на основании новых общепринятых геометрических понятий и аксиом! Другое дело, что геометрическая теория неделимых, как общепринятая, торжествовала очень недолго. После поражения материализма в Афинах многое так или иначе связанное с ним было уничтожено, а её сторонники подверглись разрушительной критике.

    Казалось бы совершенно ясно, каким образом Антифонт решил задачу о квадратуре круга. Но тут возникает несколько вопросов: почему он в своём решение настаивал на вписанном в окружность именно квадрате,- ведь для общего доказательства можно взять за основу любой правильный вписанный многоугольник, удваивая число его сторон до некоторого выбранного предела. Или почему он принимал как обязательное условие единичный радиус окружности? Да и странные слова Аристотеля... Неужели решение имело алгебраический вид и Антифонт решал второй вариант задачи о квадратуре круга - найти  коэффициент пропорциональности радиуса и длины окружности? Это кажется совершенно невозможным с точки зрения современной математики. А с точки зрения теории  Демокрита, т.е. тех самых идей, проводником которых и был Антифонт?...

 Возврат   далее