содержание:

Антифонт

Ретроспекция бесконечного

Выход?

Альтернативная философия математики

Приложение-новые методы   

Вычисление длины дуги: альтернативные формулы

Применение новых формул

Новые тригонометрические формулы

О доказательстве формулы

Доказательство формулы Антифонта         

Формулы для вычисления числа пи

Вычисление параболических кривых

Кому это нужно?

Доказательство

    Доказать, что  

при  t ,

   где    -  коэффициент пропорциональности длины окружности к ее диаметру.

 Доказательство.

   Сторона  а _2n  правильного  вписанного многоугольника  с удвоенным числом сторон  выражается  через  сторону а _n формулой:

        а  _2n =        (1)  ,

 где R – радиус окружности;

  а_n –  сторона правильного n-угольника;

  а _2n – сторона правильного 2n-угольника.

    (Эта формула элементарной математики была известна ещё в древнем Египте. Её алгебраический вывод и доказательство доступно ученику начальной школы и поэтому здесь приводится.)

Преобразуем (1) следующим образом:

a_2n =  (2)

        Формула (2) для стороны правильного вписанного многоугольника (далее сокращенно: ПВМ) с удвоенным числом сторон  а _2n справедлива и для  ПВМ  с учетверенным числом сторон  а _4n , выраженную через  а _2n , т.е.:

                а _4n = R     (3).

 Теперь подставив в (3) уравнение (2) получим формулу для стороны а_4n   ПВМ, выраженную  через  сторону  а_n:

  а _4n = R =

= R 

или:

     a _4n  =  R    (4).

    Далее, для получения  формулы  стороны  а _8n  ПВМ  с увосьмеренным  числом сторон,  выраженную через сторону  а _n  используем те же методы и преобразования, что применялись выше при получении формулы (4) .

 В формулу  а _8n  = R   вместо  а_4n  подставим

уравнение (4):

            а _8n = R  .

Для  а _16n  :

         а _16n = R , и так далее.

    Получив таким образом  последовательно формулы для  сторон   a _2n , a _4n , a _8n , a _16n ,…  - становится  очевидным   математический процесс их образования – это метод математической  рекурсии, т.е. получение последующей формулы путем возврата к предыдущей. Метод рекурсии даёт возможность вывести формулу, выражающую сторону любого  ПВМ с числом сторон 2^tn   через сторону a_n «начального» правильного вписанного n-угольника:

  a ₂^t_n = R,      (5).

( В формуле (5) последовательность двоек обозначена нижним индексом t = 1, 2, 3,…m. Фактически индекс t показывает число удвоения сторон начального ПВМ).

        Через значение стороны ПВn-угольника по формуле (5) можно вычислить сторону любого ПВ2^tn-угольника ( t = 1,2,3,…m), а, следовательно, и его периметр:

        P_n = n a_n     ,

     (где  Р_n – периметр данного ПВn-угольника,  n - число его сторон, 

 а_n   - длина одной из его сторон.)

  Следовательно, периметр    P₂^t _n –угольника равен:

      P₂^t _n = 2 ^t n a₂^t_n

Или подставив вместо  a₂^t_n  → (5),получим  периметр    P₂^t _n –угольника, выраженный через  a_n , сторону начального n-угольника:    

 P ₂^t _n = 2 ^t n R.   (6)

Длина окружности есть предел, к которому стремится сумма сторон правильного вписанного многоугольника при неограниченном возрастании числа его сторон и, соответственно, неограниченном уменьшении их длины:

           , или   .

(Начальным ПВМ может быть как треугольник (n=3), так и квадрат (n=4), пятиугольник n=5 и т.д.)

  Т.е., при  t  (при неограниченном удвоении числа сторон) периметр ПВМ  со стороной равной а ₂^t_n   стремится  к периметру  описывающей его окружности, как к своему пределу: P_ПВМ  P _окр , или: Р_ПВМ .

При радиусе данной окружности  равной единице (R=1) таким пределом будет число  .

        Выбрав сторону  а_n  ПВМ, например,    при n = 4 длина стороны вписанного квадрата: а ₄ = R  (при n =3 длина стороны  правильного   вписанного треугольника:  а ₃ =R , и т.д. ) (6) имеем:

1)      При  а ₄  и  R=1 :

  ,    

Или:

                     (7)               

 или при t -1 = f:  

2)           при  а ₃    и   R = 1   имеем:

,     или

-. (8)      

 Что и следовало доказать .

Хотя   вывод формулы по рекурсии является вполне законным методом, но для соблюдения математической строгости возможно доказательство и по индукции.

Напомним аксиому полной математической индукции:

  Если предложение   P(n)  , содержащее переменную «n» верно при n=1 и если для любого натурального «n» из истинности P(n) вытекает истинность P(n+1), то  P(n) верно при любом натуральном «n».

Т.е., если наше предложение верно (и очевидно) для первого основания, и если оно верно для произвольного основания, то оно будет верным и для следующего за ним основания.

Так, как для каждого из приведенных в задаче рядов доказательство должно производится отдельно, но по единому алгоритму, то можно показать его на примере формулы (2).

   Представим последовательность полученных методом рекурсии выражений в виде ряда   а₁, а₂ ,а₃ ,…а_t  (где  а₁ –сторона вписанного правильного 4-х угольника,  а₂ – сторона правильного вписанного 8-угольника, а₃ – 16-ти  … а_t –2^t –угольника).

       Методом математической индукции докажем, что формула (2) верна для всех натуральных    t = 1, 2, 3,…n.

1)       Начало индукции: принимаем начальную формулу для t =1 доказанной и явной по определению: .

Действительно, если начальной фигурой вписанной в окружность единичного радиуса является квадрат, то сторона его равна .

2)      следующий индуктивный шаг состоит в том, чтобы из утверждения или формулы  для а_t  , полученной  методом рекурсии в первой задаче:

а_t =                            (3)

вывести утверждение для  а_t+1 , что

а _t+1  = .                       (4)

Исходим из того, что утверждение  

b _2k= R,

верно и доказано для всякого правильного вписанного многоугольника (ПВМ) с удвоенным числом сторон (где b_k – сторона ПВМ),

    Тогда, при    R = 1 ; b _k= a _t   ;  b_2k =a _t+1   имеем:

b_2k =                a_t+1 =         (5)

Подставив в уравнение (5) уравнение  (3)  и сделав простые алгебраические преобразования получим выражение (4), что и требовалось для нашего утверждения.

  В заключение, на основании  первого и второго утверждений, можно сделать вывод, что выражение (3) справедливо  при всех  t = 1,2,3,….n.

   Из формулы для стороны t- угольника, получим и его периметр, который   стремится к длине описывающей его окружности (R=1) при :

                       Р_t = 2^{t +2}  .

Следовательно, отношение длины окружности к ее диаметру можно представить в виде уравнения (или формулы):

                            при .

Если начальной вписанной фигурой примем не квадрат, а треугольник, то доказательство аналогичное, а формула примет вид:

           при .

Возврат     далее