содержание:

Приложение к «формуле Антифонта».

Кажется совершенно невероятным, чтобы в наше время в элементарной математике можно было бы продемонстрировать что-то принципиально новое, касающееся методов вычисления – за прошедшие тысячелетия эта область познания была, казалось бы, изучена досконально не только великими математиками прошлого, но каждым мало-мальски образованным человеком. Но между тем рискну предложить вашему вниманию несколько полученных мною необычных формул, а также (если кому интересно) покажу те простейшие рассуждения, которые к ним привели.

Конечно, современная математика вполне самодостаточна, чтобы обойтись и без этих формул, но с другой стороны просто отмахнуться от них, не замечая, было бы как-то не по-научному, так как они вполне соответствуют всем требованиям, предъявляемым к математическим выражениям – легко алгебраически доказуемы и проверяемы, и поэтому, как мне кажется, они имеют право на своё место в математике. Кроме того, просто интересно показать, как можно было бы решать элементарные математические задачи альтернативными методами и в каком направление могла бы развиваться математика, прими она в своё время на вооружение атомические методы Демокрита-Антифонта.

Учитывая, что данная публикация в Интернете не строгая математическая работа, а популярная самодеятельная статья, рассчитанная на самый широкий круг читателей, я хочу продемонстрировать эффективность полученных формул на примере нескольких элементарных задач. Повторюсь, что интересны, на мой взгляд, не сами задачи (которые, конечно, решит любой школьник), а необычные методы их решения.

И ещё, не будучи профессиональным математиком, я должен с большой осторожностью говорить о новизне формул,- возможно они уже были в истории ранее, но честно перевернув горы литературы, я не нашёл ничего похожего. Но вначале небольшое отступление...

Хорошо известно из истории, какое огромное значение предавали древние астрономы и математики задачам сферической геометрии, связанным с вычислением размеров различных элементов круга: радиусов, участков длин окружности, хорд, площадей секторов и сегментов и т.д.. Для успешного решения таких задач оказалось необходимым даже введение новой системы исчисления – градусной меры, условно разбивающей круг вначале на 360 центральных углов (градусов), затем более мелких градаций – минут и секунд.

Но и этого оказалось недостаточно. Для того чтобы совместить две различные измерительные системы (линейную и угловую), потребовалось разработать и ввести целую систему тригонометрических отношений – синусы, косинусы, тангенсы и т.д.. Вычисление тригонометрических функций оказалось такой трудоёмкой задачей, что даже сегодня мы не вычисляем их самостоятельно, а пользуемся готовыми решениями (таблицами) или программными алгоритмами вычислительных машин.

Мало того, для решения задач с элементами круга требуется использовать ещё одну необходимую переходную величину – коэффициент пропорциональности диаметра и длины окружности (число пи), которую условно принимаем за число 3,14...

Так что за внешней тривиальностью геометрических задач с окружностью просматривается многовековой труд наших предков. И, кажется, что принятие всех этих требований и условностей является обязательной необходимостью, - очевидно, другого пути у математиков не было? Я думаю что был! По крайней мере, его начало намечалось ещё в Древней Греции. Это путь атомической математики, предложенный ещё Демокритом и поддержанный Антифонтом, позволял, минуя промежуточные этапы, вычислять кривую как ломанную (составленную из прямолинейных отрезков) напрямую с помощью параметрических формул (причём не только для окружности, но и для других линий второго порядка). Т.е. – прямое дифференцирование и интегрирование законными и очевидными методами, без применения промежуточных этапов, производной и мистических дифференциалов. Поэтому предложенные формулы, хотя и внешне выглядят громоздкими, но по своему содержанию являются более честными (в них всё решение на лицо), по сравнению с классическими, которые требуют вспомогательных действий и скрывают внутри себя не проявленные условности. (Представьте себе, как насколько громоздко бы выглядели бы используемы ныне формулы, если бы вместо условных символов тригонометрической функции и числа пи доставить их полные формулы!).

И ещё: для опытного математика-теоретика предложенные формулы могут показаться неинтересными с точки зрения теоретической перспективы, а являющиеся скорее формулами логистики или прикладной, практической математики.

Но, во-первых, для математика-атомиста здесь наглядная демонстрация его методов представления кривой как совокупности атомарных прямолинейных отрезков, а для теоретика – гармония бесконечных рядов.

А, во-вторых, для философа это некое подтверждение платоновской теории идеального мира, в частности перехода от единичного к множественному посредством «неопределённой двоицы».

Напомним Платона: идеальные числа (числа-идеи) возникают из единицы (единого) и «неопределённой двоицы» и являются посредниками между высшими, первоначальными, всеобразующими принципами и всеми остальными образами-идеями. Двоица - это средство перехода от начальной одномерности к множественным измерениям, по-сути к протяжённой, измеримой материи. В физическом плане этот процесс представляется как дихотомическая ядерная цепная реакция при возникновении Вселенной. Возможно, что математический аспект этого процесса и демонстрируют приведённые далее формулы – подобно цепной реакции, непрерывное удвоение порождает переход от мира простейших, одномерных прямых линий к двумерному квадратичному пространству, элементом которого являются кривые второго порядка, в частности круг.

Конечно, можно возразить, что никакого мистического смысла в чередовании двоек и радикалов нет – это всего лишь естественное проявление используемого здесь метода удвоения, но интересно, что применение других методов (например, утроения или упятерения) не даёт в результате таких гармоничных и законченных формул или рядов, что невольно и наводит на крамольную мысль о неком онтологической сущности процесса дихотомии, отражённого в приведённых далее формулах.

Но вначале об истоках исходной формулы, отражающей алгебраические отношения дуги и хорды окружности.

Возврат далее

Хостинг от uCoz