содержание:

Антифонт

Ретроспекция бесконечного

Выход?

Альтернативная философия математики

Приложение-новые методы   

Вычисление длины дуги: альтернативные формулы

Применение новых формул

Новые тригонометрические формулы

О доказательстве формулы

Доказательство формулы Антифонта         

Формулы для вычисления числа пи

Вычисление кривых

Кому это нужно?

Формула Антифонта.

В общем виде задача о квадратуре круга была известна ещё в Вавилоне и Древнем Египте, но древнегреческий философ Гиппократ из Хиоса впервые сформулировал её как теорему, причём в двух различных вариантах,- один: о построении циркулем и линейкой квадрата равновеликого данному кругу;  другой: о нахождении коэффициента пропорциональности длины окружности к её радиусу. В середине V века до н.э. этот гениальный математик, заложивший основы современной геометрии, решил удивительную задачу, показывающую практическую возможность квадратуры плоской фигуры, ограниченной двумя круговыми дугами -т.н. "луночки". Более того он доказал, что площади круговых сегментов относятся как квадраты стягивающих их хорд, а следовательно, что площади одноимённых правильных многоугольников относятся как квадраты радиусов описывающих их окружностей. Это наводило на мысль, что формулы  правильных n-угольников и описывающих их окружностей  взаимосвязаны и имеют одну природу, а значит поиски и получение общей формулы для правильных n-угольников неизбежно решает задачу о квадратуре круга!
 

Так как же могло выглядеть решение Антифонта?  Последуем за его простыми умозаключениями. За исходные данные примем окружность единичного радиуса и вписанный в неё квадрат, стороны которого удваивал Антифонт.

1). Из теоремы Гиппократа из Хиоса известно, что периметр окружности пропорционален её радиусу. Обозначим через Р периметр окружности; R - её радиус (равный у Антифонта единице) и π - искомый коэффициент пропорциональности (известно, что обозначение числа пи было введено Л.Эйлером только в 18 веке, но для удобства обозначим также).

Тогда из:  Р = 2πR  следует: π = P/2   (при R = 1)

Очевидно, что для нахождения π необходимо найти периметр окружности единичного радиуса.

2).  Элементарно, что сторона квадрата, вписанного в окружность с радиусом R =1 равна:  ;

правильного 8-угольника  (2³ -угольника):   ;

 правильного 16-угольника (2⁴-угольника ):     ;

 правильного 32-угольника (2⁵-угольника ) :  и т.д..

Т.е. для получение значения стороны любого 2ⁿ⁺¹-угольника достаточно прибавление под общий радикал квадратного корня из 2.

Следовательно можно предположить, что сторона вписанного в окружность R=1 правильного 2ⁿ -угольника будет равна:

    (1)

(Такое необычное изображение математического выражения не является общепринятым в современной математике, но математика как известно предоставляет право автору использовать любые обозначения удобные для изложения, лишь бы они были понятны и оговорены. В данном случае, нижний индекс у чисел 2 показывает количество двоек под знаком радикала в формуле, или, если угодно, - в ряде.)

Доказать (1) несложно используя простую и известную ещё в древнем Египте формулу для стороны правильного многоугольника с удвоенным числом сторон:

      ;    где  а_n    - сторона вписанного многоугольника.     (2)

Та же формула при R=1 упрощается до:   

             (3)

3). Дальнейшие действия очевидны: если следовать теории Демокрита, то окружность представляет собой совокупность атомных прямолинейных отрезков, т.е. -правильный многоугольник с конечным числом сторон, следовательно её периметр равен периметру этого многоугольника, который можно получить путём удваивания числа сторон начиная с квадрата. Прямолинейный атомный отрезок, а следовательно и число сторон многоугольника,  выбирается по рациональным соображением неким конечным числом  n.

Периметр a²ⁿ -угольника будет равен:

(4)

Следовательно, искомый коэффициент равен:

  (5) !!!

 (В современном виде формула Антифонта очевидно выглядела бы как:

   (6)

Но во времена Антифонта не было понятие ряда и предела, к которому он стремится, тем более теория Демокрита не допускала бесконечности, поэтому (5) условно можно назвать формулой .

    Любопытно, что такой ряд (6) для числа π  дает большую точность с меньшим числом математических действий (если считать вычисление корня квадратного за одну операцию), чем другие известные ряды для числа π, полученные гораздо позднее!   

"Формула" Антифонта обладает ещё одним замечательным свойством (которое так же можно доказать): с  её помощью можно показать число пи с любой заранее заданной точностью! (конечно с учётом округления последующего знака).  По сути - это параметрическая формула, решения которой возможны лишь при выборе параметра t (размера атома).

Так, если для формулы (5) обозначить через k число верных знаков после запятой в числе π , то формула всегда дает  точность k =  0,5(t-1).

 Например для того, чтобы показать 5  верных знаков после запятой (k=5) необходимо взять (из: t = 2k + 1)  значение t = 11 . Т.е.:

.

 50000 верных знаков после запятой в числе π покажет выражение:

.

======

Интересно, что если бы Антифонт выбрал начальной вписанной фигурой  не квадрат, а равносторонний треугольник, t-число раз удваивая число его сторон, то получил бы формулу:

   (7)

Формула (7) даёт большую точность, чем (5). Так для (7) число верных знаков после запятой всегда равно: k = 2/3·t  , где t - число двоек под знаком радикала (или t = 3/2·k). Т.е. для того, чтобы показать 5 верных знаков после запятой (k=5) параметр t должен быть не менее 7,5, или округлив t=8, а не t=11 как для (5).

Таким образом формула Антифонта даёт уникальную возможность алгебраически, с помощью радикалов показать число  π  с любой заданной точностью, что делает бессмысленными дальнейшие попытки энтузиастов математики в поисках с помощью ЭВМ всё больших и больших значений числа π ( недавно ученые Токийского университета поставили новый мировой рекорд в вычислениях «числа Пи» - они сосчитали до 12411-триллионного знака).  В свете дискретной теории Демокрита, отвергающей бесконечность деления, пределом считалась условная граница, на которой можно остановится по прагматическим соображениям с учётом условий задачи. Например для большинства практических задач достаточно  значение числа пи с двумя знаками после запятой - 3,14 (что даёт вписанный в окружность 32-угольник). Или по формуле (5) с округлением последующего знака:

Такое числовое выражение вполне могло быть использовано Антифонтом для геометрического построения числа пи, а значит и построения квадрата равновеликого данной окружности - т.е. практического решения задачи о квадратуре круга!  И это нисколько не противоречило принятым для его времени правилам математики.

(Для сравнения, такое же приближение даёт ряд Мэчина, но большим числом операций:

     π =      

Возможно ряд Мэчина удобней для практических вычислений, но не для геометрических построений, тем более, что он появился только 19-ом веке. )

Для справки: в масштабах Земли и её окрестностей число пи с 11 точными знаками после запятой даёт погрешность вычисления несколько миллиметров, в масштабах солнечной системы достаточно 16 знаков, а уже 39 знаков π достаточно для вычисления окружности, опоясывающей наблюдаемую Вселенную, с погрешностью, не превышающей радиуса атома водорода; для вычислений в масштабах свей Вселенной достаточно 70 точных знаков после запятой...

=============

   Но была ли достаточно развита алгебра в Древней Греции при Антифонте для того, чтобы он получил свою формулу числа пи? Ни каких документальных свидетельств на этот счёт не сохранилось, но достоверно известно, что ближайшие соседи греков - египтяне и вавилонцы уже несколько столетий использовали алгебру для решения систем уравнений второй и даже третьей степени, а также для некоторых формул. А так как и Фалес, и Демокрит обучались математике и геометрии на Востоке, то не приходится сомневаться в том, что их современники в Греции так же использовали не менее развитую алгебру. Но несколько позже, в непримиримой борьбе с софизмом и дискретной теорией Демокрита, представители математических школ Древней Греции отказались от алгебры, - так как чистая "алгебра определяется как наука о системах объектов в которых задано число операций применимых (каждая) к определённому конечному числу объектов системы". Любое упоминание об алгебре расценивалось почти как преступление, возвращающее атомизм, и все математические рассуждения с тех пор приняли только риторический вид, что, конечно, препятствовало дальнейшему развитию греческой математики и не оставляло ни малейших шансов на выживание формулы Антифонта. В обстановке политической реакции в Афинах идеалистическая философия утвердила в математике и строгие ограничения, запрещающие применение чисел к геометрии.
Начавшийся уже в V веке до н.э. симбиоз восточной алгебры и греческой математической теории, предполагающий уже в то время появление основ дифференциального и интегрального исчисления, координатного метода и мн. другого, вдруг неожиданно прервался...

Ещё одной возможной причиной утраты формулы Антифонта было то, что она почти не имеет прикладного значения. Древние математики имели алгоритм вычисления квадратных корней, но вычисление "в ручную" , например: было очень непростой задачей.

   ...А может быть "остатки" формулы Антифонта фигурируют в одной из самых загадочных работ Евдокса (включённой в "Начала" Евклида), где в риторической форме говорится о неких квадратичных иррациональностях и корнях из них (что наши современники переводят примерно как : ... ) , но до сих пор не совсем понятно, что он этим хотел сказать...

   Современная математика (начиная от Аристотеля и Платона) не признаёт дискретные методы Антифонта-Демокрита, которые являются по сути незаконными и ненаучными (т.е.- это чистый софизм), а  публикуются  здесь лишь как гипотетический вариант решений математиков древности, или как образец альтернативных методов в истории математики, хотя события прошедшего века поставили под сомнения основополагающие принципы классической философии математики...

возврат  далее