содержание:

О доказательстве формулы Антифонта

На странице (http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html ) можно найти множество формул для вычисления числа пи. Там же под номером (66) от 2000 года есть формула, тождественная «формуле Антифонта», приведённой на странице этого сайта, но полученная мною самостоятельно, что, при необходимости, легко подтвердить документально – около десяти лет назад я отправлял эту формулу в несколько изданий (которые, правда, её проигнорировали).

при

(Что же, возможности интернета позволяют частично компенсировать эту неудачу.)

Кстати, насколько я понял из перевода, доказательства данной формулы нет, поэтому сложно сказать какими соображениями руководствовался автор формулы (J. Munkhammar) - возможно это было счастливое озарение.

Ход же своих рассуждений я с удовольствием продемонстрирую, добавив ещё несколько новых формул и тем самым подтверждая самостоятельность своего решения.

Конечно я не профессиональный математик (поэтому заранее прошу прощения у специалистов за форму изложения), но мне кажется доказательство несложным и для любителя.

В случае с «Формулой Антифонта» результат был получен вследствие логических рассуждений о атомических методах в математики. Эта, и ряд других подобных формул, показались мне настолько элементарны и гармоничны, что было бы досадно, если они так и остались бы в черновиках не опубликованными. Возможно, они могут быть актуальны и в части формирования современной атомической математической теории.

...Вообще-то, абсолютное большинство методов и формул для вычисления числа π являются не доказанными и выводятся часто эвристическими, или даже эмпирическими методами, т.к. математическая строгость доказательства таких формул (насколько я понимаю) упирается в до конца нерешённые философские проблемы, касающиеся природы кривых линий, в частности окружности. Причём не всегда в таких случаях выручает и мистический континуум, придающий точкам кривых динамические характеристики. Но любое алгебраическое или эмпирическое обращение к точкам кривых сразу превращает их в статические, дискретные, что подразумевает представление кривых как ломанных, т.е. как совокупность прямолинейных отрезков.

" ... так как уходящее в бесконечность удваивание числа сторон многоугольника, а вместе с ним и беспредельные приближение периметра того же многоугольника к окружности, не дают места непосредственному усмотрению, то явилась необходимость для удержания за очевидностью ее прав в принятии основанием всех исследований рассматриваемого рода такого вспомогательного предложения, с помощью которого требования очевидности были бы удовлетворены. "(Энцикл. Бр-Эф)

Суть проблемы квадратуры круга (как заметил ещё Аристотель) заключается в альтернативном выборе одной из двух основополагающих мировоззренческих теорий, одна из которых видит начала, основы мироздания, через призму атомической математики, как совокупность дискретных, физически определяемых элементов, вторая - предполагает слитность этих элементов, их непрерывность в пространстве и времени, т.е. - континуум.
В геометрическом аспекте первая теория подразумевает линию, как кратчайшее расстояние между двумя дискретными, точно определёнными точками, и тогда кривая - есть ломанная, состоящая из прямых, окружность - многоугольник. Во избежание логических противоречий здесь вводится понятие минимального дискрета - атома, т.е. пусть условной, но величины (количества, меры, точки отсчёта- назовите как угодно) без которой теряют смысл основные математические характеристики - например, "больше-меньше".

Вторая теория, считающаяся ныне основной, представляет линию как нечто сплошное, слитное, цельное, как траектория постоянно движущейся точки. Такое представление кривой, в частности окружности, не может соответствовать периметру многоугольника с любым числом сторон. Правда, при тщательном умозрительном анализе в этой модели геометрической линии возникает не мало противоречий, для разрешения которых просто необходимо заимствование основных положений атомической теории, т.к. без дискретных элементов континуум становится вообще математически неопределим потому, что бесконечное и непрерывное можно характеризовать только зафиксировав, остановив его в отдельных точках.
Получается странна ситуация, когда достоверно можно говорить не о линии, а только о точках линии, а некая траектория движущейся точки - есть только гипотетический, предполагаемый объект, созданный нашим воображением, нашими чувствами, а значит субъективный! И если в атомизме мы можем говорить о прямой, как кратчайшем расстояние между двумя точками, то объективно "сплошной" геометрической кривой не существует?.. И введение здесь понятия переменных величин не спасает положения, т.к. переменная величина, по сути есть совокупность дискретных величин, характеризующая её (частное значение переменной). Единственным выходом из положения оказывается введение понятия бесконечного, что само является неопределённым, т.е. круг замкнулся - сплошной континуум, который нельзя доказать, а можно принимать только на веру.

И вообще, что такое линия? Как её определить? Энциклопедии нам говорят:
"ЛИНИЯ, общая часть двух смежных областей поверхности."
"ПОВЕРХНОСТЬ, общая часть двух смежных областей пространства."
"ПРОСТРАНСТВО, в математике - множество объектов, между которыми установлены отношения, сходные по своей структуре с обычными пространственными отношениями типа окрестности, расстояния и т. д."

Истина прячется от нас подобно матрешке, ускользая от одного определения к другому, что является явным признаком полной неопределённости в данном вопросе. Понятно одно, что без таких понятий, как множество, расстояние, точка невозможно определить понятие линии. Линия - это некий воображаемый объект, место положения множества точек, с координатами, связанными какой-либо функциональной зависимостью. Но если мы применим такие дискретные понятия как точки, то кратчайшее расстояние между ними есть прямая, как близко они не располагались бы относительно друг друга (даже если слитно). Но в таком случае всякая кривая рационально может быть представима только как совокупность прямолинейных отрезков.
Если же представить кривую, как траекторию движущейся точки, то в таком случае возникает ещё больше неразрешимых вопросов: что это за точка, которая движется, куда и с какой скоростью, есть ли конец и начало её движения и т.п.. Т.е. привлечение такого понятия, как движение, время, невольно переводит математику в область физики (что вобщем-то и предложил Галилей)...

Получается, что для того, чтобы говорить о разрешимости квадратуру круга необходимо строго определить, что такое линия, в частности - окружность. Но такого бесспорного определения нет...

=================================

Ещё великий Архимед предложил безукоризненный с точки зрения математической строгости метод для нахождения числа пи с помощью вписанных и описанных в окружность правильных 96-угольников, указав границы числа пи в пределах между 3 10/71 и 3 1/7. (Этим методом математики пользовались до 17 века, пока Виет с подачи Гюйгенса не предложил пользоваться формулами, составленными из бесконечно повторения операций над известными числами.)

Но означает ли это, что число пи обязательно, для соблюдения абсолютной математической строгости необходимо находить только методом одновременного увеличения числа сторон вписанных и описанных многоугольников. Почему бы не использовать один из таких рядов для вписанных либо описанных правильных многоугольников, т.к. их периметры при увеличении числа сторон стремятся к длине окружности, как к своему пределу, но не переходят его.

Доказательство такого положения элементарно, например:

"Стороны всякого вписанного многоугольника есть хорды описывающей его окружности. Всякая хорда не может быть больше соответствующей ей дуги, так как прямая (хорда) - есть кратчайшее расстояние между двумя точками, общими для дуги и хорды, и лежащими на одной окружности. Следовательно, периметр всякого правильного вписанного многоугольника при возрастании не может превосходить длину окружности, описывающей его, а стремится к ней как к своему пределу."

Такое логическое высказывание, основанное на начальных положениях математики, и создаёт тот предел по возрастанию периметра вписанного многоугольника, для которого Архимед использовал периметр описывающий многоугольник. Т.е. для соблюдения математической строгости доказательства формулы для числа пи очевидно необязательно рассматривать одновременно вписанный и описывающий многоугольник, а достаточно рассматривать предел, к которому стремится периметр вписанного многоугольника при возрастании числа его сторон...

Возврат далее

Хостинг от uCoz