содержание:

Вычисление длины дуги

альтернативным методом

Вычисление длины хорды окружности по стягиваемой ею дуге (как и обратное действие - нахождение длины дуги по соответствующей ей хорде), задача очень древняя и в настоящее время элементарная.

Например, зная радиус данной окружности, вычислим по известной формуле

p=2πr длину окружности. Далее по отношению длины дуги к длине окружности в градусной или радианной мере находим значение центрального угла окружности, который опирается на данную дугу и стягивающую ее хорду. Затем по синусу половинного угла находим половину искомой хорды.

Как видно из алгоритма решения задачи, казалось бы, нельзя избежать выполнения нескольких промежуточных операций и условностей: определение значений углов, решение тригонометрических функций. Тем более присутствие в вычислении числа π- коэффициента пропорциональности диаметра и длины, окружности кажется совершенно необходимым.

Вообще же в тригонометрии считается, что углы произвольного треугольника нельзя связать непосредственно с его сторонами с помощью алгебраических соотношений. Поэтому тригонометрия вводит в рассмотрение, кроме самих углов, еще новые количества, так называемые тригонометрические величины (sin , cos, tg и т.д.).

Эти величины уже можно связать со сторонами треугольника простыми алгебраическими соотношениями. С другой стороны, по данному углу можно вычислить соответствующее значение тригонометрической величины, и обратно. Правда, эти вычисления требуют длительных и утомительных расчетов, но эта работа проделана раз и навсегда и закреплена в таблицах.

Избежать некоторых условных и промежуточных операций при вычислении дуг и хорд окружности, а также при решении произвольных треугольников позволяют альтернативные методы, изложенные ниже, которые позволяют решить древнейшие математические задачи:

1) найти непосредственную алгебраическую зависимость между дугой окружности и длиной стягивающей ее хорды не в градусной или радианной мере, а в линейном исчислении;

2) найти алгебраическую зависимость сторон и углов произвольных треугольников;

3) получить формулу, выражающую с помощью радикалов и с любой степенью точности коэффициент пропорциональности длины и диаметра окружности, т.е. числа .

4) Получить формулу для стороны любого правильного вписанного многоугольника и т.д..

=======================================================================

Определить длину дуги окружности без применения тригонометрических функций.

1. Построим на плоскости из точки 0 радиусом R окружность, для которой произвольный отрезок АВ (АВ < 2R ) является хордой, а -соответствующая её дуга. ( Рис.1)

При этом линейные размеры хорды АВ можно измерить обычной линейкой, что никак нельзя применить к дуге. Тогда путем разбиения данной дуги на множество малых и равных прямолинейных отрезков (хорд), а затем, суммируя их, попробуем максимально приблизится к истинному значению длины дуги.

Этот метод использовался еще в древней Греции 2,5 тыс. лет назад когда первые известные нам геометры Антифон и Анаксагор пытались решить задачу о квадратуре круга вписывая в круг правильные многоугольники с большим числом сторон, тем самым стараясь как бы спрямить линию окружности и найти равную ей по длине суммы прямолинейных отрезков, но был в своё время отвергнут наукой по понятным соображениям, но все же, пойдем этим старым и забытым путем,- поделим дугу вначале на две равные части в точке С, получив таким образом две равные дуги и соответствующие им хорды АС и СВ.

рис.1

Теорема Пифагора и тривиальные алгебраические преобразования приводят нас к уравнению, известному ещё в Древнем Египте и Греции:

CD=R – DO →

Следовательно:

Тогда:

= (1)

Таким образом, получаем хорошо известную из геометрии формулу (1) для определения стороны правильного вписанного многоугольника с удвоенным числом сторон, где AB - сторона вписанного п-угольника, АС – сторона вписанного многоугольника с удвоенным числом сторон.

Преобразуя полученную формулу, имеем:

(2)

Так как формула (2) была выведена для произвольной хорды, то ее можно применить для нахождения любых других хорд, полученных при последовательном разбиении дуги на все более и более малые отрезки, кратные 1/2ⁿ первоначальной дуги . Например:

(3)

Или, подставив значения предыдущей формулы (2) в (3) получим:

(4)

Таким образом, через значения радиуса R и начальной хорды АВ, можно путем разбиений кратное 2ⁿ дуги АВ получить значения соответствующих хорд.

Обозначим через a_t полученные хорды, причем нижний индекс t пусть обозначает последовательность разбиения первоначальной дуги на 2ⁿ дуг (t = 0, 2, 4, 8,...2ⁿ ). Тогда АВ=а₀ ; AC = a₁ ; АЕ = а₂ и т.д.. Формула для a_t , будет выглядеть следующим образом :

a₂^t_n= R (5)

Получая рекуррентным методом последующую формулу из предыдущей, образуется общая формула с чередующими радикалами, число которых зависит от выбранного параметра t.

Метод математической рекурсии, содержащий в своей основе метод математической индукции, позволяет доказать формулу со требуемой математической строгостью. (Доказательство приведено далее.)

Величину t можно условно считать коэффициентом точности при определении длины дуги АВ - чем больше t-разбиений, тем ближе истинное значение длины дуги АВ к сумме полученных хорд a_t .

Другими словами параметр t показывает на какое число равных отрезков делится исходная дуга АВ. (Например, при t =3 , число отрезков равно 2³=8, при t=5, число отрезков равно 2⁵ = 32 и т.д..)

Тогда сумма этих отрезков будет тем ближе к значению длины дуги, чем больше число t. Таким образом, длиной дуги будет предел, к которому стремится сумма длин этих прямолинейных отрезков (хорд) при неограниченном возрастании их числа и неограниченном убывании их длины.

Теперь получив формулу для любой малой хорды а_t можно, умножив это значение на число хорд 2^t , вычислить с любой степенью точности значение длины дуги :

= 2^t R (6) ,

где а₀=АВ – хорда , R – радиус окружности.

Например:

Задача 1.

Дано: радиус окружности R = 10 (здесь и далее в задачах даны условные единицы), хорда АВ = 3.

Найти: длину дуги .

1) Решим задачу с использованием формулы (6):

(выбираем t=2!)

_t=2 = 2²•10 3,011 ,

(при выборе t =5 , 3,01136 )

2) Проверка.

Проверим правильность решения «классическим» способом с использованием тригонометрических функций:

а) Найдем центральный угол окружности данного радиуса соответствующий хорде АВ:

Sin = = 0, 15 , 17, 253853

= 3,0113655

Итак, при использовании формулы (4) и t =2 наш результат верен с точностью до 1/10000 , при t = 5 точность до 1/100000 .

Заметим, что при вычислениях не использовались тригонометрические таблицы, значения углов и даже частица .

_{======================================================}

Определить длину хорды окружности без применения тригонометрических функций.

Из формулы (6) посредством простых алгебраических преобразований можно получить такую формулу, которая позволит вычислить хорду а, если известны радиус данной окружности R и длина дуги , которую стягивает хорда а.