Древнейшая проблема

Представление чисел в виде прямолинейных отрезков было принято в математике с древнейших времён, ещё далеко до Пифагора. И даже, возможно, существовала числовая шкала из рациональных чисел, (что фактически не препятствовало созданию системы перпендикулярных осей). Но великолепная гармония арифметики и геометрии была нарушена примерно в 5 веке до н.э. в связи с изучением свойств пропорций, в частности геометрического среднего в отношении a:b=b:c. Дело в том, что введение в отношение священной для того времени единицы, неизбежно приводило к рассмотрению свойств диагоналей квадрата ( в частности квадратного корня из двух ), а значит к построению несоизмеримых отрезков, т.е. иррациональных чисел! (По существующей легенде Пифагор даже утопил в связи с этим одного из своих лучших учеников).

Положение спасает вновь созданная Теэтом ( ум.в 369 г.до н.э.) теория иррациональных и геометрическая теория отношений Евдокса (408-355 г. до н.э.), которая сознательно отвергала числовые выражения для отрезков. Именно эти работы, как полагают, вошли десятую и пятую книгу «Начал» Евклида. Таким образом, несоизмеримые отрезки рассматривались только геометрически. И именно с тех пор произведения отрезков воспринимались только как площади прямоугольников и квадратов (а не как самостоятельные отрезки) и построения из многостепенных отрезков не допускались вплоть до времён Ферма и Декарта. (Даже Теорема Пифагора была с тех пор переформулирована уже не как отношение отрезков - сторон прямоугольного треугольника, а как отношение площадей квадратов, построенных на сторонах этого треугольника.)

Раскаты той далёкой катастрофы донеслись и до нашего времени. В пропорции предложенной Декартом (или Ферма?) впервые после 2-х тысячелетий вводится числовой единичный отрезок, который фактически возвращает единение числа и геометрии. Но с другой стороны, возрождает некоторые давние противоречия, которые могли проявиться в геометрическом доказательстве Великой Теоремы Ферма. (Поразительно, но оказывается ещё на заре древнегреческой математики знали в общем виде следствия "Великой Теоремы Ферма", ведь в геометрическом виде она провозглашает тоже самое: недопустимы построения с использованием n-степенных отрезков без нарушения т.н. "принципа соответствия"!) ...И когда в 19 веке на первый план вновь вышли нерешённые проблемы относительно обоснования анализа и существования актуальной и потенциальной бесконечности, то вначале Коши и Гаусс используя понятие предела, а затем Вейерштрасс и Контор, дав арифметическое определение иррационального числа, попытались сделать тоже, что и в античные времена сделал Евдокс. Несколько отличной от них оказалась теория Дедекинда. А сторонники Л.Кронекера и вовсе отказались принимать теорию актуальной бесконечности. Таким образом сложнейшие теории наслаивались одна на одну, и даже теперь, когда всем известно дедекиндово сечение, мало кто, положа руку на сердце, сможет просто и доходчиво объяснить, как иррациональные, которые невозможно представить в виде конечного числа, в то же время могут соответствовать конечным отрезкам.

Могли ли древние математики догадываться, что невозможно построить на плоскости прямоугольный треугольник со сторонами, равным многостепенным отрезкам? В принципе ничто этому не препятствовало. С древнейших времён было известно, например, что в окружность единичного диаметра можно вписать бесконечное число прямоугольных треугольников так, что вершины их углов находились на линии окружности. Все эти треугольники имеют соотношение сторон: x² + y² = 1

Тогда просто подставив числовые значения для xⁿ и yⁿ при n>2 можно сразу увидеть, что такие треугольники не вписываются в общие правила, а значит - не существуют. ( Ещё 1000 лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди утверждал, что уравнение x³ + y³ = z³ не имеет решений.)

Конечно, в то время не существовало строгово доказательства на этот счёт, но знание подобных недоразумений было очевидно. Не зря же на протяжении тысячелетий в математике категорически избегали построений многостепенных отрезков и фигур из них.

Всё это сдерживало развитие математики и, в частности, системы координат.

Зенон Элейский (около 450г. до н.э.) - ученик Перменида, философа-консерватора, который учил, что разум постигает только абсолютное бытиё и что изменение есть только кажущееся. Это приобрело математическое значение тогда, когда в связи с такими задачами, как определение объёма пирамиды, стали заниматься бесконечными процессами. Здесь парадоксы Зенона с некоторыми давними представлениями бесконечного. Всегда считалось, что сумму бесконечно многих величин можно сделать сколь угодно большой, даже если каждая величина крайне мала ( ∞×ε = ∞), а также что сумма конечного или бесконечного числа величин размера нуль равна нулю (n×0=0, ∞×0 =0). Критика Зенона была направлена против таких представлений, и его четыре парадокса вызвали такое волнение, которое дошло и до нашего времени. Эти парадоксы стали известны благодаря Аристотелю под названиями Ахиллес, Стрела, Дихотомия (деление на два) и Стадион. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка решить такие противоречия.

Древнейшая проблема?