Заметки на полях

В то времени это было поистине удивительный способ доказательства. Но можно ли считать его абсолютно безупречным?

Нисколько не сомневаясь в истинности полученного свойства кривых Fn, но воспитанный на строгих греческих математических традициях, Пьер Ферма прекрасно понимал, что сформулировать его как теорему можно только тогда, когда доказательство основывается на незыблемых и неоспоримых аксиомах.

Новый же координатный метод доказательства безусловно вызвал бы в его адрес массу вопросов, сомнений и даже острой критики,- геометрический анализ с применением координатного метода делал свои самые первые шаги, и потребовались бы десятилетия, или даже столетия для его общего признания. Более того, он не мог не понимать основного противоречия нового метода: с одно стороны вызывает сомнение насколько корректно отображать на одной координатной плоскости математические объекты различной степени, а значит и различной мерности не нарушая при этом основного для того времени "принципа соответствия". Но с другой стороны, графическое решение систем уравнений различных степеней на одной координатной плоскости даёт очевидные правильные результаты. (Эти противоречия наверняка обсуждались в жарких письменных дискуссиях Ферма и Декарта, но вопрос так и остался открытым. В какой-то степени и по сей день.)

Посвящать всю свою жизнь утверждению одной теоремы - было для Ферма слишком большой жертвой и явно не в его духе. Он по своему типу был «генератором» идей и не оставлял для себя времени на тщательное оформление своих работ. Тем более, будучи математиком-любителем, да еще одиночкой, он легко мог быть подвержен насмешкам со стороны профессиональных математиков в части формулировок или обозначений, тем более по такой совершенно новой теме.

И всё-таки главная (на мой взгляд) причина такого «невнимания» Ферма к своей «Великой Теореме» была совершенно парадоксальной –

Выступить с такой теоремой наверняка означало выставить себя на посмешище. Ведь то, что «продемонстрировал» Ферма – невозможность геометрического построения фигур из многостепенных отрезов на 2-х мерной плоскости, было в то время (и с древнейших времён) общепринятой и неоспоримой истиной, почти аксиомой! (Не исключено, что обоснование подобных убеждений и находилось в тех утерянных, уничтоженных, или таинственно исчезнувших работах Евдокса, Аполлония, Евклида, Диофанта, которые и пытался возродить Ферма.) "Свободное" обращение с многостепенными отрезками началось только после работ Ферма, Декарта, Валлиса.

...И когда на глаза Ферма попадается риторическая задача Диофанта (Книга 2, задача 8) о том, как разложить квадрат числа на два других квадрата, он, естественно переводит её на алгебраический язык Виетта и с удивлением замечает, что это не что иное, как уравнение окружности, которое он рассматривал с помощью координатного метода ещё в своей первой работе.

Теперь Пьер Ферма, используя очевидность свойств кривых F n-ой степени, уже точно знает, что такое уравнение невозможно с другими показателями степени более двух. Он, конечно, не мог удержаться от того, чтобы на полях книги не оставить ставшее в последующим такое знаменитое замечание:

“Cubet autem in duos cubos, aut guadratoguadratum in duos guadratoguatratos, et generaliter nullam in infinitum ultra guadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere”.- ( лат)

«Куб однако разделить на два куба, или квадрат в квадрате на два квадрата в квадрате, или вообще любую степень до бесконечности больше второй на две степени с тем же обозначением невозможно. »

Потом, на минуту задумавшись над тем, как обосновать своё утверждение, с лёгкой досадой добавил:

«cuius rei demonstrationem mirabilem sane setex hanc marginis exiguitas non caparet”(лат.)

«я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его»

Как видим, Ферма не говорил ни о какой «theorem», а только о «предложении» Но понятие - "предложение" имело в то время двойной смысл: во-первых - это означало математическое высказывание, а во-вторых - геометрическое построение (что в общем-то не удивительно, т.к. практически все доказательства тогда имели геометрический вид).

Более того, не надо быть большим знатоком латыни, что бы слово «demonstrationem» прочитать именно как «показать» или точнее - «продемонстрировать», а не обязательно как - «доказать» (вместо, к примеру: «modus probandi » - способ, метод доказательства).

«я нашёл удивительный способ продемонстрировать это предложение,…».

«я нашёл удивительнейший способ продемонстрировать это геометрическим построениями,…»

И новый координатный метод был лучшим для такой демонстрации, хотя для этого на полях книги действительно слишком мало места.

Есть ещё один интересный момент, на который следут обратить внимание,- общепринято считать, что П.Ферма в своих знаменитых замечаниях не оговорил область определения своего "предложения" (или "теоремы"), что для серьёзного математика недопустимо (за него это делают другие, уверено перенося её ко множеству целых чисел!). В других своих задачах и теоремах Ферма безупречен. В чём дело? Откуда такая небрежность? Но прочитаем ещё раз его заметки: он использует латинское слово "generaliter", что почти дословно означает - "общие числа" или "общие значения" (очевидно от "generalis" - общий (лат.) и "littera"- писменный знак, поразумевая число).

Тогда получается, что Ферма всё-таки указывает область определения в своём "предложении" - для "общих чисел" или "всех чисел" , вместо, например: "integliter" - целых чисел (от "intecrum" - целое или "integer" - целый (лат.)), как в других своих работах.

Восстановленное и предложенное вам решение знаменитой задачи основано на работах самого Пьера Ферма, или на работах, которые наверняка были известны ему, и которые практически не требуют интерпретации. Более того, геометрические проблемы, с которыми он неизбежно должен был столкнуться при создании нового метода, также неизбежно приводили его к знаменитому уравнению.

С их помощью на протяжении многих лет предпринимались многочисленные, но безуспешные попытки доказать «Великую Теорему Ферма». Для строго доказательства не хватало какого-то важного логического элемента. Таким элементом могло бы быть предложенное здесь правило пропорционального деления треугольников, вытекающее из известных аксиом. За то, что Ферма мог им воспользоваться, говорит часто упоминаемый им метод спуска.

Наверное возникнет замечание, что не допустимо такое представление на одной числовой шкале различных числовых систем. Ведь отрезки a^m при пропорциональном делении дают отрезки той же системы исчисления x^m , т.е. множества Q^m , шкала которых отлична от шкалы Q⁺ (т.е. несоизмерима с ней). Но такой запрет, если он и существует, был бы лучшим доказательством того, что уравнение Xⁿ + Yⁿ = 1 при любом n>2 нельзя представить на плоскости в виде кривой, т.е. оно - неразрешимо! Ведь именно этому утверждению и посвящается Большая Теорема Ферма и приведённое выше "доказательство"!

Знал ли Ферма о множествах Q^m? К сожалению он практически не оставлял потомкам своих рабочих бумаг, а те что остались имеют почти зашифрованный вид. Но известно, что большая часть его творчества была посвящена идее, когда с помощью преобразования числовой шкалы и перехода на различные системы исчисления для осей координат X ,Y (в первую очередь на шкалу Q^m ) добиваться «ректификации» , или «спрямления» кривых различных порядков. И это доказывает, что Ферма шёл именно тем путём, что был продемонстрирован выше. А ведь такая идея, возможно, было главной в его творчестве,- это был переход к новому осмыслению геометрии нашего мира, в которой понятия прямой и кривой – относительны. И тогда Пьер Ферма был один из первых, кому удалось на двухмерной плоскости изучать объекты гиперпространства и многомерного мира, к которым и относятся кривые F_n.

Когда появились знаменитые заметки Ферма? Большинство исследователей сходится на 1637-1638 годах, хотя точной даты установить не удалось. Это годы появления и формирования нового координатного метода. Кроме него в период 1638-1660 годы Рене Декарт и Джон Валлис в плотную занимались изучением алгебраических кривых различной степени, вначале для целого и положительного значения n, затем отрицательного и дробного. Не исключено, что они также знали о свойствах кривых Fn , но так как эти кривые фактически считались невозможными, то и не обсуждались широко.

Конечно, в этой статье можно найти погрешности стилистического или формального порядка, но они не должны заслонять главную идею, вероятней всего применённую в доказательстве самого Ферма. То, что эта идея правильная – блестяще подтверждается известной теоремой, которая спустя столетия появилась в учебниках математики (уже доказанная с помощью тригонометрических функций), о том, что треугольник, со сторонами в степени m>1 - не может быть прямоугольным.
Он - остроугольный!

Заметки на полях.