Алгебраическое доказательство.

 Доказать, что кривая Fn не имеет общих точек с окружностью единичного радиуса, кроме точек (0;1) и (1;0) можно различными элементарными способами.

      Например, через систему уравнений:

x2 + y2 = 1

xn + yn = 1

      Тогда подходящие решения только: ( x=1; y=0) и (x=0; y=1).

(Отрицательные значения X,Y - не рассматриваются )

    Таким образом, Ферма легко алгебраически доказывает невозможность построения прямоугольных треугольников со сторонами равными (xm ; ym ; 1 ) при любом m > 1 , т.к. они не входят в число всех возможных прямоугольных треугольников, описанных окружностью единичного радиуса.

     Выше сказанное приводит к цепочке логических утверждений:

- если нельзя построить прямоугольный треугольник со сторонами (xm; ym; 1) при любом m > 1, то нельзя построить и пропорциональный ему прямоугольный треугольник со сторонами (am ; bm ; cm );

- следовательно, невозможно и уравнение для его сторон: a2m + b2m = c2m , прямо вытекающее из теоремы Пифагора. В противном случае такой прямоугольный треугольник бы существовал (или теорема Пифагора не верна);

- следовательно, (если 2m = n ) и выражение: an + bn = cn   будет   ложным   при n >2.

Дополнение:

    Можно возразить: теорема Пифагора доказывает только, что всякому прямоугольному треугольнику соответствует уравнение квадрата его сторон -
a2 + b2 = c2 . Но где доказательство того, что всякому такому уравнению обязательно соответствует на плоскости прямоугольный треугольник?
Это можно доказать несколькими способами. Например:

Предположим,

    что существует некоторое уравнение: a2 + b2 = c2 , которое не является соотношением сторон прямоугольного треугольника. Другими словами, существует непрямоугольный треугольник (a; b; c) с соотношением сторон: a2 + b2 = c2.
    Тогда, расположив на плоскости отрезки a и b перпендикулярно (как катеты) можно построить ещё один треугольник, но уже прямоугольный с гипотенузой d. По теореме Пифагора соотношение его сторон будет: a2 + b2 = d2 .
Но в таком случае получаем противоречие: c = d, из которого следует, что треугольник может быть только прямоугольным и наше первоначальное предположение ложно. А поэтому, каждому уравнению вида a2 + b2 = c2 точно соответствует прямоугольный треугольник.

( Впрочем, ещё Гиппократу из Хиоса (5в.до н.э.) была известна не только теорема Пифагора, но и соответствующее неравенство для непрямоугольных треугольников.)

Таким образом, если стороны рассматриваемых треугольников а, в, с (и соответственно x,y) принимать рациональными, то легко доказать, что кривая Fn никак не может быть рациональной, т.е. не может иметь рациональных точек, кроме точек пересечения с осями координат (0;1) и (1;0). В противном случае существование такой кривой приводит к неразрешимым противоречиям при её построение. Что фактически доказывает неразрешимость в рациональных уравнения:

an + bn = cn .

 

 

Rambler's Top100 Каталог сайтов Всего.RU

Хостинг от uCoz