Доказать, что кривая Fn не имеет общих точек с окружностью единичного радиуса, кроме точек (0;1) и (1;0) можно различными элементарными способами.
Например, через систему уравнений:
Тогда подходящие решения только: ( x=1; y=0) и (x=0; y=1).
Таким образом, Ферма легко алгебраически доказывает невозможность построения прямоугольных треугольников со сторонами равными (xm ; ym ; 1 ) при любом m > 1 , т.к. они не входят в число всех возможных прямоугольных треугольников, описанных окружностью единичного радиуса.
Выше сказанное приводит к цепочке логических утверждений:
- следовательно, невозможно и уравнение для его сторон: a2m + b2m = c2m , прямо вытекающее из теоремы Пифагора. В противном случае такой прямоугольный треугольник бы существовал (или теорема Пифагора не верна);
- следовательно, (если 2m = n ) и выражение: an + bn = cn будет ложным при n >2.
Дополнение:
Предположим,
( Впрочем, ещё Гиппократу из Хиоса (5в.до н.э.) была известна не только теорема Пифагора, но и соответствующее неравенство для непрямоугольных треугольников.)
Таким образом, если стороны рассматриваемых треугольников а, в, с (и соответственно x,y) принимать рациональными, то легко доказать, что кривая Fn никак не может быть рациональной, т.е. не может иметь рациональных точек, кроме точек пересечения с осями координат (0;1) и (1;0). В противном случае существование такой кривой приводит к неразрешимым противоречиям при её построение. Что фактически доказывает неразрешимость в рациональных уравнения: