Новый метод

”Святой отец!
Я Вам чрезвычайно признателен за честь,
которую Вы мне оказали, подав надежду на то,
что мы сможем беседовать письменно;
...Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых
трактатах и книгах по Математике,
которые появились за последние пять-шесть лет.
...Я нашел также много аналитических методов
для различных проблем, как числовых, так и геометрических,
для решения которых анализ Виета недостаточен.
Всем этим я поделюсь с Вами,
когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия,
от которого я более свободен и более далек, чем любой другой
человек на свете.”

Новый метод.

Не вызывает сомнения, что Ферма, владеющий латынью в совершенстве, был хорошо знаком с латинскими переводами древнегреческих математиков и геометров.

Аполлоний из Перги (ок.260- ок.170гг.. -). Им написан трактат из восьми книг о конических сечениях («О кониках», латинский перевод – 1566г). Это трактат об эллипсе, параболе и гиперболе. Название этих кривых сохранилось до наших дней.

Считается, что Аполлоний не располагал координатным методом, т.к. в то время не были приняты алгебраические обозначения, но многие его результаты можно легко перевести на язык координат. Именно он определил и отобразил конические сечения с помощью того, что сейчас называется координатами, хотя числовых значений они ещё не имели.

В «Географии» (лат. перевод 1515г) Птолемея (ум. около 170 г) широта и долгота были уже числовыми координатами.

Папп (3-й век) - «Сокровищница анализа» (лат. перевод 1589г). Здесь, если использовать современные обозначения, совершенно очевидно применение алгебры к геометрии.

Николай Орезм (1323-1382гг), епископ города Лизье в Нормандии. В своей работе «О размере форм», напечатанной и переизданной на латыни в1360, 1482 и 1515 годах уже приводит графическое сопоставление зависимой и независимой переменной. Фактически это переход от координат на небесной сфере к современной координатной геометрии.

И, наконец, Ф.Виет (1540-1603гг.)– один из первых, кто предлагает в алгебраических задачах применение удобной общей символики ("видовой логистики"): изображать числовые коэффициенты – буквами, а также использовать знаки «+» и « - «. (Правда, ещё вместо знака равно "=" писалось латинское "eg" .) Это позволило перейти от «риторической» диофантовой алгебры к общему рассмотрению алгебраических задач.

(Но Виет, как впрочем и все предшествующие ему математики были уверены, что решение уравнений выше третьей степени не имеет никакого смысла, т.к. уравнения второй степени ассоциировались с площадями, третьей степени – с объёмами геометрических фигур, а уравнения более высокой степени уводили соответственно в какой-то непонятный многомерный мир. Алгебра того времени ещё сильно отличалась от современной, т.к. придерживались греческого принципа однородности, согласно которому произведение двух отрезков обязательно рассматривались как площадь и в соответствии с этим отрезки можно было складывать только с отрезками, площади с площадями, объёмы с объёмами.)

Как видим, П.Ферма в то время обладал всеми необходимыми предварительными знаниями, которые позволяли ему, человеку исключительного таланта, самостоятельно развить до сих пор невостребованный координатный метод и, как следствие, применить хорошо развитую алгебру начала семнадцатого века к геометрии древних, тем самым, положив начало современной аналитической геометрии. Что собственно он и сделал. И доказательством этого служит его небольшая работа по геометрии -«Введение к плоским и пространственным местам» («Isagoge»), напечатанная только после смерти Ферма в 1679г.. Данная работа была написана ранее «Геометрии» Декарта. Более того, работа Ферма глубже по содержанию и ближе к современной аналитической геометрии. В ней впервые рассматриваются уравнения прямых линий и конических сечений относительно системы перпендикулярных осей, например:

Одна из загадок – почему эта работа, наверняка бы совершившая переворот в математике, не была в своё время напечатана. Существует даже вполне обоснованная версия французских исследователей, что данная работа в 1636 году была уже направлена в типографию (и, якобы найдены документы подтверждающие это), но, по непонятным причинам была задержана. И, как это часто бывает…!

…В 1637 году неожиданно для него выходит в свет известная работа Рене Декарта «Рассуждению о методе» с небольшим приложением - «Геометрия», описывающим в общих чертах новый метод, с использованием одной из координат и ставшая сенсацией в научном мире. Правда она не содержала таких практических и серьёзных примеров, как работа П.Ферма. Но данная публикация делала Декарта, учёного, очень хорошо известного в Париже, первооткрывателем нового метода.

Рене Декарт не мог не знать об идеях Ферма. В 1636 году изуитский священник Мерсенн, организатор математического кружка в Париже, друг и одноклассник Декарта и одновременно единственный человек, кому Ферма полностью доверял свои идеи, разослал работу «Isagoge» математикам для ознакомления.

Но кто такой – этот Ферма?,- никому неизвестный юрист из провинциальной Тулузы...

Известно так же, что с 1638 года велась «письменная война» между Декартом и Ферма по поводу координатного метода, которая закончилась в 1640 году относительным примирением (вероятно после их личной встречи, которая могла произойти в Париже - по крайней мере оба находились в одно время в одном месте). Рене Декарт больше не претендовал на первенство в открытие координатного метода, который мы всё ещё называем «декартовым», написав позже: «… Итак, мой тезис состоит в том, что сущность аналитической геометрии состоит в изучении геометрических мест с помощью их уравнений, и что это было известно ещё грекам и служило основой их исследований конических сечений».

Но, очевидно после этого случая, а также после резкого неприятия парижскими математиками его второй работы "Нахождение максимумов и минимумов" в 1637 году, П.Ферма в дальнейшем не соглашался публиковать свои статьи по математики (кроме двух в конце своей жизни в 1660 г.:. одна – его диссертация, а вторая вообще анонимная и без названия, как приложение к чужой работе). В своих же письмах он представлял только конечные результаты, но никогда не писал о методах их получения, как бы поддразнивая своих корреспондентов и отказываясь от личных встреч с ними. (Чем нажил себе достаточное количество недоброжелателей.)

Это одна из тёмных страниц истории математики, однозначно разобраться в которой сейчас невозможно и приходится касаться её только для того, чтобы попытаться понять мотивацию некоторых поступков П.Ферма и ответить на один из вопросов поставленных в начале статьи

(Тут следует добавить, что это был очень сложный период жизни Пьера Ферма. Начинающий математик, вдохновлённый необыкновенными открытиями и наполненный новыми идеями, с открытым забралом пытается войти в неизвестную для него математическую среду, но встречает в основном полное неприятие и непонимание. Более того, пытаясь защитить приоритет своих идей, он публично обвиняется в невежестве и даже в плагиате у Кеплера идей нахождения "максимумов"! Дошло до того, что неутомимый Декарт, поддержанный математиками из кружка Мерсенна, объявляет т.н. "малый процесс Математики против Ферма"! Многие бы сломались под таким давлением, но только не Ферма. (Он оправдал свою фамилию Fermo - твёрдо, решительно (ит.) ). И когда говорят, что Пьер Ферма был слишком нахален и заносчив, то забывают, что у него в общем-то и не было другого выбора. Единственным оружием одинокого математика для защиты своих идей и своей чести были настойчивые вызовы именитым оппонентам в виде непосильных для них задачи, от которых невозможно было просто отмахнуться, не потеряв при этом достоинства. Тут следует признать, что не все математики приняли бойкот Ферма. Например, оценив незаурядность новичка, с ним плодотворно переписывался Блез Паскаль, что дало науке Теорию вероятностей. Имена же многих других снобов-учёных растворились в сумерках Истории, и если и вспоминают о них сейчас, то только потому, что им когда-то написал Ферма...)

Впрочем, возможно идея использования координатного метода в то время витала в воздухе, и кто-то должен был её первым огласить? И П.Ферма, обладающий независимым характером и смелым мышлением, стал в начале 17 века своеобразным катализатором для интенсивного воспламенения новых и возрождения забытых математических идей. И, как не парадоксально, его «дилетантство» в математике могло сыграть свою положительную роль в преодолении окостенелых традиций и догм средневековой науки...

Итак, Пьер Ферма продолжил свои исследования, в частности, кривых с уравнением степени больше двух и дробных степеней, совершенствуя новый метод. Наконец появляется возможность наглядно изучать свойства сложных алгебраических уравнений общего вида. И он становится одним из лидеров революционных перемен в математике .

Декарт несомненно является великим идеологом науки , но в данный момент важным является то, что он (или Ферма?) сумел преодолеть серьёзный психологический барьер в математике: традиционно в геометрии произведения и степень чисел представлялись как площади и объёмы различных фигур, что вносило неудобство при решении многих задач и, в первую очередь, не позволяло построить полноценную числовую ось. Теперь же аргументировано предлагается представлять эти величины как прямолинейные отрезки.

Т.е. теперь каждому числу на числовой оси однозначно соответствует свой отрезок. В результате геометрическую задачу, используя координатный метод, можно решать как алгебраическую, а алгебраическую - как геометрическую. Свершилось великое и долгожданное событие в математике: два её главных аспекта - геометрическое и алгебраическое представление чисел, получили свою обоснованную взаимосвязь.

И самым главным для нас в данный момент является то, что любую степень числа стало возможным представлять в виде отрезка. То есть теперь отрезки а² , в³, с^m и т.д. - занимают своё законное место на числовой оси.

И тут Ферма приходит невозможная до той поры и дерзкая для новичка в математике идея - если такие отрезки существуют, то почему бы не построить из них на плоскости геометрическую фигуру, например треугольник.